Deux charges nC et nC sont fixées en et, distants de cm

1. Les deux charges sont positives : ${\overrightarrow{E}}_1$ s'éloigne de $A$, ${\overrightarrow{E}}_2$ s'éloigne de $B$. En dehors du segment $[AB]$, les deux vecteurs pointent dans le même sens et ne peuvent pas se compenser. Ce n'est qu'entre $A$ et $B$ qu'ils sont opposés.<br> 2. Soit $x=AM$ ; alors $MB=d-x$. La condition $E_1=E_2$ s'écrit

$$k\frac{q_1}{x^2}=k\frac{q_2}{(d-x{)}^2}⟹\frac{\sqrt{q_1}}{x}=\frac{\sqrt{q_2}}{d-x}⟹x=d\frac{\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}}.$$

Numériquement, $\sqrt{q_1}=3\sqrt{\text{nC}}$ et $\sqrt{q_2}=2\sqrt{\text{nC}}$ :

$$x=10\times \frac{3}{3+2}=6,0\text{cm}.$$

Le point $M$ est donc à $6,0$ cm de $A$ et $4,0$ cm de $B$ : plus près de la petite charge.<br> 3. $E_1=9,0\times 10^9\times \frac{9,0\times 10^{-9}}{(0,060{)}^2}=2,25\times 10^4$ $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ et $E_2=9,0\times 10^9\times \frac{4,0\times 10^{-9}}{(0,040{)}^2}=2,25\times 10^4$ $\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Les deux vecteurs sont opposés et de même valeur : $\overrightarrow{E}(M)=\overrightarrow{0}$. $✓$

Contrôle : le rapport des distances vaut $\frac{6}{4}=1,5=\sqrt{\frac{9}{4}}$ — la racine du rapport des charges, comme l'impose la loi en $\frac{1}{r^2}$.

Piège : placer $M$ au milieu, ou proportionnellement aux charges ($\frac{9}{13}$ de $d$). C'est la racine carrée des charges qui gouverne, parce que le champ décroît comme le carré de la distance.