Deux charges nC et nC sont fixées en et, distants de cm

Interactions fondamentales et notion de champ · Champ électrostatique et cartes de champ · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Deux charges $q_{1} = + 9, 0$ nC et $q_{2} = + 4, 0$ nC sont fixées en $A$ et $B$ , distants de $d = 10$ cm.

Expliquer pourquoi le champ résultant ne peut s'annuler qu'entre $A$ et $B$ .
Déterminer la position du point $M$ où $E$ est nul.
Vérifier par le calcul des deux valeurs de champ.

Corrigé

1. Les deux charges sont positives : $E_{1}$ s'éloigne de $A$ , $E_{2}$ s'éloigne de $B$ . En dehors du segment $[A B]$ , les deux vecteurs pointent dans le même sens et ne peuvent pas se compenser. Ce n'est qu'entre $A$ et $B$ qu'ils sont opposés.
2. Soit $x = A M$ ; alors $M B = d - x$ . La condition $E_{1} = E_{2}$ s'écrit

$k \frac{q _{1}}{x ^{2}} = k \frac{q _{2}}{( d - x ) ^{2}} ⟹ \frac{q _{1}}{x} = \frac{q _{2}}{d - x} ⟹ x = d \frac{q _{1}}{q _{1} + q _{2}} .$

Numériquement, $q_{1} = 3 nC$ et $q_{2} = 2 nC$ :

$x = 10 \times \frac{3}{3 + 2} = 6, 0 cm .$

Le point $M$ est donc à $6, 0$ cm de $A$ et $4, 0$ cm de $B$ : plus près de la petite charge.
3. $E_{1} = 9, 0 \times 1 0^{9} \times \frac{9 , 0 \times 1 0 ^{- 9}}{( 0 , 060 ) ^{2}} = 2, 25 \times 1 0^{4}$ $V / m$ et $E_{2} = 9, 0 \times 1 0^{9} \times \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{- 9}}{( 0 , 040 ) ^{2}} = 2, 25 \times 1 0^{4}$ $V / m$ . Les deux vecteurs sont opposés et de même valeur : $E (M) = 0$ . $✓$

Contrôle : le rapport des distances vaut $\frac{6}{4} = 1, 5 = \frac{9}{4}$ — la racine du rapport des charges, comme l'impose la loi en $\frac{1}{r ^{2}}$ .

Piège : placer $M$ au milieu, ou proportionnellement aux charges ( $\frac{9}{13}$ de $d$ ). C'est la racine carrée des charges qui gouverne, parce que le champ décroît comme le carré de la distance.