L'air ne supporte pas un champ supérieur à

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 2 — Interactions fondamentales et notion de champ · Lire et exploiter une carte de champ

Énoncé

L'air ne supporte pas un champ supérieur à $E_{m a x} \approx 3, 0 \times 1 0^{6}$ $V / m$ : au-delà, il s'ionise et une étincelle jaillit (claquage).

Quelle charge maximale $Q_{m a x}$ peut porter une sphère métallique de rayon $r = 1, 0$ cm, sachant que le champ à sa surface vaut $k \frac{Q}{r ^{2}}$ ?
À combien d'électrons en excès ou en défaut cela correspond-il ?
Pourquoi les paratonnerres sont-ils pointus ?

Corrigé

1. $E_{m a x} = k \frac{Q _{m a x}}{r ^{2}}$ donne

$Q_{m a x} = \frac{E _{m a x} r ^{2}}{k} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{6} \times ( 0 , 010 ) ^{2}}{9 , 0 \times 1 0 ^{9}} \approx 3, 3 \times 1 0^{- 8} C = 33 nC .$

2. $N = \frac{3 , 3 \times 1 0 ^{- 8}}{1 , 602 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 2, 1 \times 1 0^{11}$ électrons — deux cents milliards, et pourtant une charge minuscule en coulombs.<br> 3. Le champ à la surface varie comme $\frac{1}{r ^{2}}$ : plus le rayon de courbure est petit, plus le champ y est intense à charge égale. Une pointe atteint donc $E_{m a x}$ bien avant le reste de la structure : c'est là que l'air s'ionise et que la foudre est captée. C'est l'effet de pointe.

Contrôle : pour $r = 1$ mm (dix fois moins), $Q_{m a x}$ est divisé par $100$ : $0, 33$ nC suffit à faire claquer l'air. La pointe déclenche le phénomène cent fois plus tôt. $✓$

Piège : croire que la pointe « attire » la foudre par magie. Elle ne fait qu'y concentrer le champ — la géométrie, pas une propriété nouvelle.

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