Le test de Newton (1666)

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 2 — Interactions fondamentales et notion de champ · Du champ au mouvement

Énoncé

Le test de Newton (1666) : la pomme et la Lune. Newton a voulu vérifier que la même loi rendait compte de la chute d'un corps et de la révolution de la Lune. On donne $R_{T} = 6371$ km, $d_{T L} = 3, 84 \times 1 0^{5}$ km, $g_{0} = 9, 8$ $N / kg$ et la période de révolution de la Lune $T = 27, 32$ jours.

Calculer le champ de gravitation terrestre à la distance de la Lune.
Un mouvement circulaire uniforme de rayon $d$ et de période $T$ correspond à une accélération $a = \frac{4 π ^{2} d}{T ^{2}}$ . La calculer.
Comparer les deux résultats. Que conclure ?

Corrigé

1. $g (d) = g_{0} (\frac{R _{T}}{d _{T L}})^{2} = 9, 8 \times (\frac{6 371}{384 000})^{2} = 9, 8 \times 2, 75 \times 1 0^{- 4} \approx 2, 70 \times 1 0^{- 3}$ $N / kg$ : le champ terrestre y est $3600$ fois plus faible qu'au sol.<br> 2. $T = 27, 32 \times 24 \times 3600 \approx 2, 36 \times 1 0^{6}$ s, donc

$a = \frac{4 π ^{2} \times 3 , 84 \times 1 0 ^{8}}{( 2 , 36 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} \approx 2, 72 \times 1 0^{- 3} m \cdot s^{- 2} .$

3. Les deux valeurs coïncident à moins de $1 %$ près. La Lune « tombe » donc vers la Terre exactement comme une pomme, avec la même loi en $\frac{1}{r ^{2}}$ : c'est l'unification du ciel et de la Terre, l'acte de naissance de la mécanique newtonienne.

Contrôle : le facteur $(\frac{d _{T L}}{R _{T}})^{2} \approx 3, 6 \times 1 0^{3}$ se retrouve directement dans le rapport $\frac{9 , 8}{2 , 7 \times 1 0 ^{- 3}}$ . $✓$

Piège : comparer $a$ à $g_{0}$ au lieu de $g (d)$ . Tout le raisonnement de Newton tient dans la décroissance en $\frac{1}{r ^{2}}$ : sans elle, l'écart serait d'un facteur $3600$ .

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