physique (première) · Chapitre 4 · Exercice de TD

La Lune décrit autour de la Terre un cercle de rayon r = 3,84 × 10⁸ m…

Mouvement d'un système · Du mouvement aux forces · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La Lune décrit autour de la Terre un cercle de rayon $r = 3, 84 \times 1 0^{8}$ m en $T = 27, 3$ jours, à vitesse de valeur constante.

Calculer la valeur de sa vitesse.
Entre deux instants séparés de $Δ t = 1, 0$ h, l'angle parcouru vaut $θ \approx 0, 5 5^{\circ}$ et l'on montre que $Δ v \approx v θ$ ( $θ$ en radians). Estimer $Δ v$ , puis $\frac{Δ v}{Δ t}$ .
Comparer à la valeur du champ de gravitation terrestre à la distance de la Lune, $g \approx 2, 7 \times 1 0^{- 3} N / kg$ (chapitre 2). Conclure.

Corrigé

1. $v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \times 3 , 84 \times 1 0 ^{8}}{27 , 3 \times 86 400} \approx 1, 02 \times 1 0^{3} m / s$ .
2. $θ = 0, 55 \times \frac{π}{180} \approx 9, 6 \times 1 0^{- 3}$ rad ; $Δ v \approx 1020 \times 9, 6 \times 1 0^{- 3} \approx 9, 8 m / s$ , d'où $\frac{Δ v}{Δ t} = \frac{9 , 8}{3 600} \approx 2, 7 \times 1 0^{- 3} m / s^{2}$ .
3. Exactement $g$ à la distance de la Lune ! La relation $\frac{Δ v}{Δ t} = \frac{F}{m} = g$ est vérifiée : la Lune tombe vers la Terre — c'est le calcul par lequel Newton unifia, en 1687, la chute de la pomme et le mouvement des astres.

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