Mouvement d'un système

Cours complet · physique (première), chapitre 4 · première, spécialité physique-chimie

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

La seconde a posé le principe d'inertie : sans force, la vitesse ne change pas. La première franchit le pas décisif : quand les forces ne se compensent pas, comment la vitesse change-t-elle ? La réponse — une forme approchée de la deuxième loi de Newton — relie le vecteur variation de vitesse $Δ v$ à la somme des forces, et fait de la masse la mesure de l'inertie.

4.1 Rappels : vitesse d'un point sur une chronophotographie

Définition 4.1Vecteur vitesse (rappel de seconde)

Le mouvement d'un système modélisé par un point matériel est repéré, dans un référentiel donné, par ses positions $M_{0}, M_{1}, M_{2}, \dots$ à intervalles de temps réguliers $Δ t$ (chronophotographie, pointage vidéo). Le vecteur vitesse au point $M_{i}$ est approché par

$v_{i} = \frac{M _{i} M _{i + 1}}{Δ t} :$

direction et sens du déplacement, valeur $v_{i} = \frac{M _{i} M _{i + 1}}{Δ t}$ .

Le geste fondateur du chapitre : sur une chronophotographie, le vecteur vitesse en $M_{i}$ se lit directement sur la figure — c'est le segment $M_{i} M_{i + 1}$ , à l'échelle $1/Δ t$ près. Les intervalles de temps étant égaux, un écart plus long est une vitesse plus grande : ici le mobile accélère.

4.2 Le vecteur variation de vitesse

Définition 4.2Vecteur variation de vitesse

Entre deux instants voisins $t_{i}$ et $t_{i + 1}$ , le vecteur variation de vitesse est

$Δ v_{i} = v_{i + 1} - v_{i} .$

Il capture tout changement de la vitesse : de sa valeur (accélération, freinage) comme de sa direction (virage) — un mobile qui tourne à vitesse constante a un $Δ v$ non nul !

Méthode : Construire $Δ v$ graphiquement

Pour construire $Δ v_{i} = v_{i + 1} - v_{i}$ (capacité mathématique : sommer et soustraire des vecteurs) :

construire $v_{i}$ et $v_{i + 1}$ aux points $M_{i}$ et $M_{i + 1}$ ;
reporter les deux vecteurs à partir d'une même origine (le point $M_{i + 1}$ par convention) ;
$Δ v_{i}$ joint l'extrémité de $v_{i}$ à l'extrémité de $v_{i + 1}$ — c'est le vecteur qu'il faut ajouter à $v_{i}$ pour obtenir $v_{i + 1}$ .

Construction de $Δ v_{1}$ . $v_{1}$ et $v_{2}$ sont lus sur la trajectoire : ce sont les cordes $M_{1} M_{2}$ et $M_{2} M_{3}$ , à l'échelle $1/Δ t$ près. On reporte alors $v_{1}$ en $M_{2}$ (pointillé), origine commune aux deux vecteurs, et $Δ v_{1}$ joint la pointe de $v_{1}$ à celle de $v_{2}$ . Ici les deux vitesses ont presque la même valeur et seule leur direction change : $Δ v$ est donc quasiment perpendiculaire au mouvement, dirigé vers l'intérieur du virage.

4.3 La relation approchée entre forces et variation de vitesse

◆Théorème 4.3Deuxième loi de Newton (forme approchée)

Pour un système de masse $m$ modélisé par un point matériel, entre deux instants voisins séparés de $Δ t$ :

$m Δ v \approx (\sum F) Δ t soit Δ v \approx \frac{\sum F}{m} Δ t .$

Le vecteur variation de vitesse a la direction et le sens de la somme des forces ; sa valeur est proportionnelle à $Δ t$ et inversement proportionnelle à la masse.

iRemarqueCohérences

Si $\sum F = 0$ , alors $Δ v = 0$ : on retrouve le principe d'inertie de seconde — la relation le contient.
Le rôle de la masse : à forces égales, un système deux fois plus massif voit sa vitesse deux fois moins modifiée. La masse mesure l'inertie, la résistance au changement de mouvement — pousser un caddie vide ou plein ne produit pas le même effet.
La relation est approchée et exige des instants voisins ( $Δ t$ petit) : en terminale, le passage à la limite $Δ t \to 0$ en fera l'égalité exacte $m a = \sum F$ .

L'inertie, en une image : les deux flèches oranges sont identiques, les deux bleues non. Dans $Δ v \approx \frac{\sum F}{m} Δ t$ , la masse est au dénominateur — elle ne s'oppose pas à la force, elle divise son effet.

4.4 Premier sens : des forces au mouvement

Exemple 4.4La chute libre

Une balle lancée est en chute libre si elle n'est soumise qu'à son poids $P = m g$ . La relation donne

$Δ v \approx \frac{m g}{m} Δ t = g Δ t :$

entre deux images, la vitesse gagne toujours le même vecteur, vertical, vers le bas, de valeur $g Δ t$ — quelle que soit la masse (la plume et le marteau tombent de concert dans le vide, comme sur la Lune en 1971). Sur la chronophotographie d'un projectile, tous les $Δ v$ sont égaux : c'est la signature de la chute libre.

Chronophotographie d'un projectile : les vitesses (bleu) changent de direction et de valeur, mais les $Δ v$ (orange) sont tous identiques — verticaux, vers le bas, de valeur $g Δ t$ : le poids est la seule force.

Exemple 4.5Calcul

Balle de $58$ g en chute libre, images séparées de $Δ t = 40$ ms :

$Δ v = g Δ t = 9, 8 \times 0, 040 = 0, 39 m / s$

entre deux images — et ce, que la balle monte, descende ou passe au sommet.

4.5 Second sens : du mouvement aux forces

Méthode : Estimer une force à partir de la cinématique

Quand la chronophotographie (ou le pointage vidéo) donne le mouvement, la relation se retourne :

$\sum F \approx m \frac{Δ v}{Δ t} :$

on construit $Δ v$ , on mesure sa valeur, et l'on en déduit direction, sens et intensité de la somme des forces.

Exemple 4.6Freinage d'urgence

Une voiture de $1200$ kg passe de $v_{1} = 25 m / s$ ( $90$ km/h) à $v_{2} = 15 m / s$ en $Δ t = 1, 0$ s, en ligne droite. $Δ v$ est opposé au mouvement, de valeur $10 m / s$ :

$F \approx m \frac{Δ v}{Δ t} = 1200 \times \frac{10}{1 , 0} = 1, 2 \times 1 0^{4} N,$

dirigée vers l'arrière — la force de freinage (adhérence des pneus), équivalente au poids d'une masse de $1, 2$ tonne.

Exemple 4.7Le virage : une force vers le centre

Un satellite en orbite circulaire uniforme garde une vitesse de valeur constante… mais sa direction tourne : $Δ v \neq = 0$ . La construction graphique montre que $Δ v$ pointe vers le centre du cercle : la somme des forces aussi — c'est la gravitation (chapitre 2) qui courbe la trajectoire. Une pierre de fronde tourne pour la même raison : la tension du fil pointe vers la main ; que le fil casse, et $\sum F = 0$ : la pierre part tangente au cercle (principe d'inertie), pas vers l'extérieur !

Mouvement circulaire uniforme : $v_{1}$ et $v_{2}$ ont la même valeur mais pas la même direction. Reportés en $M_{2}$ , ils donnent un $Δ v_{1}$ (orange) dirigé exactement vers le centre $O$ : la somme des forces (vert) est centripète.

L'erreur à ne pas commettre. À gauche, le fil tire la pierre vers la main : sans cette force dirigée vers le centre, pas de cercle. À droite le fil casse, la somme des forces s'annule — et le principe d'inertie impose un mouvement rectiligne uniforme, donc la tangente. Rien ne pousse jamais la pierre vers l'extérieur : la « force centrifuge » n'existe pas dans ce référentiel.

4.6 Capacité numérique : tester la relation en Python

Un pointage vidéo fournit les listes des positions ; le programme calcule vitesses et variations de vitesse (les listes du livre d'informatique !), puis confronte $m \frac{Δ v}{Δ t}$ au poids :


# Pointage d'une balle en chute (m = 0.058 kg, une image toutes les 40 ms)
dt = 0.040
m  = 0.058
x = [0.000, 0.060, 0.120, 0.180, 0.240, 0.300, 0.360]   # abscisses (m)
y = [0.500, 0.554, 0.592, 0.615, 0.622, 0.613, 0.589]   # ordonnées (m)

# Vitesses entre images consécutives
vx = [(x[i+1] - x[i]) / dt for i in range(len(x) - 1)]
vy = [(y[i+1] - y[i]) / dt for i in range(len(y) - 1)]

# Variations de vitesse
dvx = [vx[i+1] - vx[i] for i in range(len(vx) - 1)]
dvy = [vy[i+1] - vy[i] for i in range(len(vy) - 1)]

# Test : m * dv / dt doit valoir (0 ; -m g) = (0 ; -0.57 N)
for i in range(len(dvx)):
    print(round(m * dvx[i] / dt, 3), round(m * dvy[i] / dt, 3))
# Affiche (0.0, -0.58) à chaque ligne, aux incertitudes de pointage près :
# la somme des forces est verticale, vers le bas, de valeur m g. Validé !

iRemarque

Le même programme, appliqué à un mobile freiné ou à un pendule, révèle des $Δ v$ non constants : la relation approchée devient un instrument de diagnostic — les forces se lisent dans la cinématique.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices