Description d'un fluide au repos

Cours complet · physique (première), chapitre 3 · première, spécialité physique-chimie

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L'air qui nous entoure, l'eau des océans : des fluides — gaz et liquides, qui s'écoulent et épousent leur contenant. Ce chapitre les décrit au repos, à deux échelles : l'échelle microscopique des entités en agitation, et l'échelle macroscopique des grandeurs mesurables — masse volumique, pression, température — reliées par deux lois : celle de Mariotte pour les gaz, et la loi fondamentale de la statique des fluides pour les liquides.

3.1 Deux échelles de description

Définition 3.1Échelle microscopique, échelle macroscopique

À l'échelle microscopique, un fluide est un très grand nombre d'entités (molécules, atomes) en agitation désordonnée incessante, d'autant plus vive que le fluide est chaud. Dans un gaz, les entités sont éloignées et libres ; dans un liquide, en contact mais mobiles.
À l'échelle macroscopique, on renonce à suivre les entités une à une : on décrit le fluide par quelques grandeurs moyennes mesurables — masse volumique $ρ$ , pression $P$ , température $T$ .

iRemarqueInterprétation microscopique de

P

T

La pression d'un gaz résulte des chocs incessants des entités sur les parois : plus les chocs sont nombreux (gaz comprimé) ou violents (gaz chaud), plus la pression est grande. La température mesure l'agitation : plus les entités vont vite en moyenne, plus $T$ est élevée. Le lien micro--macro est le fil rouge du chapitre.

3.2 Les grandeurs macroscopiques

Définition 3.2Masse volumique, pression, température

Masse volumique : $ρ = \frac{m}{V}$ , en $kg / m^{3}$ . Ordres de grandeur : eau $1000$ ; air $1, 2$ ; mercure $13600$ $kg / m^{3}$ .
Pression : $P$ , en pascals ( $Pa$ ). Unités usuelles : $1$ bar $= 1 0^{5}$ $Pa$ ; $1$ hPa $= 100$ $Pa$ . Pression atmosphérique normale : $P_{atm} = 1013$ hPa $\approx 1, 0 \times 1 0^{5}$ $Pa$ .
Température : $T$ en kelvins ( $K$ ) pour la température absolue, $θ$ en degrés Celsius : $T = θ + 273, 15$ .

La masse volumique, rendue tangible : un mètre cube d'eau pèse une tonne, et le petit cube orange — un litre, une brique de lait — un kilogramme. C'est le même $ρ$ vu à deux échelles. Les trois ordres de grandeur à retenir tiennent dans cette image : l'air est mille fois plus léger que l'eau, le mercure treize fois plus lourd.

iRemarque

Un gaz est compressible ( $ρ$ varie fortement avec $P$ ) ; un liquide est quasi incompressible ( $ρ$ pratiquement constante) — c'est cette différence qui sépare les deux lois du chapitre.

3.3 Forces pressantes

◆Théorème 3.3Force pressante

Un fluide à la pression $P$ exerce sur toute surface plane $S$ en contact une force pressante :

perpendiculaire à la surface, dirigée du fluide vers la surface ;
de valeur

$F = P \times S (F en N, P en Pa, S en m^{2}) .$

La force pressante est perpendiculaire à la paroi et dirigée du fluide vers elle — somme macroscopique des chocs microscopiques.

Exemple 3.4La paume de la main

Sur une paume de $S \approx 100$ cm $^{2} = 1 0^{- 2}$ m $^{2}$ , l'atmosphère appuie avec

$F = 1, 0 \times 1 0^{5} \times 1 0^{- 2} = 1000 N$

— le poids d'une masse de $100$ kg ! Nous ne l'écrasons pas… parce que l'air appuie de l'autre côté aussi : les forces pressantes se compensent. C'est en créant un déséquilibre de pression (ventouse, paille, pompe) que la pression atmosphérique se manifeste.

Pourquoi une tonne d'air sur la main ne fait rien, et pourquoi une ventouse tient. Les forces pressantes ne se voient jamais seules : ce qui compte est leur résultante. Elles se compensent de part et d'autre de la paume ; sous la ventouse il n'y a presque plus d'air pour repousser, et le déséquilibre plaque le caoutchouc contre la paroi. Même pression, deux effets opposés.

3.4 Le gaz : la loi de Mariotte

◆Théorème 3.5Loi de Mariotte (1676)

À température constante, pour une quantité de gaz donnée, le produit de la pression par le volume est constant :

$P \times V = constante (a ˋ T constante).$

Comprimer un gaz à moitié de son volume double sa pression.

Test de la loi de Mariotte à la seringue (points orange : mesures au capteur de pression) : les points suivent l'hyperbole $P = \frac{cte}{V}$ — et le produit $P V$ mesuré est constant à quelques pourcents.

Protocole expérimental : Tester la loi de Mariotte

Une seringue graduée reliée à un capteur de pression (ou à un microcontrôleur) : on enferme $V_{0} = 50$ mL d'air à $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5}$ $Pa$ , on comprime par paliers en relevant $(V, P)$ , lentement pour rester à température constante. On calcule $P \times V$ pour chaque palier : la constance du produit valide le modèle.

iRemarqueLimites du modèle

La loi de Mariotte décrit un gaz parfait : elle se dégrade à haute pression ou près de la liquéfaction, quand les interactions entre entités ne sont plus négligeables. Un modèle a toujours un domaine de validité.

Exemple 3.6

Une pompe à vélo contient $200$ mL d'air à $1, 0$ bar. On bouche la sortie et on enfonce le piston jusqu'à $50$ mL :

$P_{2} = \frac{P _{1} V _{1}}{V _{2}} = \frac{1 , 0 \times 200}{50} = 4, 0 bar .$

3.5 Le liquide : loi fondamentale de la statique des fluides

◆Théorème 3.7Loi fondamentale de la statique des fluides

Dans un fluide incompressible au repos, de masse volumique $ρ$ , la pression augmente avec la profondeur. Entre deux points $1$ et $2$ d'altitudes $z_{1}$ et $z_{2}$ (axe $z$ vertical ascendant) :

$P_{2} - P_{1} = ρ g (z_{1} - z_{2}) .$

Descendre ( $z_{2} < z_{1}$ ) augmente la pression ; deux points à la même altitude sont à la même pression.

Des vases communicants de formes très différentes, un seul liquide : le niveau s'établit à la même hauteur partout, et trois points à la même profondeur $h$ sont à la même pression, quelle que soit la quantité de liquide au-dessus d'eux. Seule compte $h$ — ni la forme, ni le volume, ni la largeur du récipient.

En descendant de $h$ sous la surface, la pression croît de $ρ g h$ : le point $2$ supporte, en plus de l'atmosphère, le poids de la colonne d'eau au-dessus de lui.

Exemple 3.8Plongée

Dans l'eau ( $ρ = 1000$ $kg / m^{3}$ ), à $h = 10$ m de profondeur :

$P_{2} = P_{atm} + ρ g h = 1, 0 \times 1 0^{5} + 1000 \times 9, 8 \times 10 \approx 2, 0 \times 1 0^{5} Pa :$

la pression augmente de $1$ bar tous les dix mètres d'eau — la règle d'or du plongeur (elle double entre la surface et $10$ m, mais pas au-delà : de $10$ à $20$ m elle n'est multipliée que par $1, 5$ ) (paliers, interdiction de bloquer sa respiration à la remontée : Mariotte dilaterait l'air des poumons !).

iRemarquePourquoi pas pour l'air de la pièce ?

La loi exige un fluide incompressible : elle s'applique aux liquides. Pour quelques mètres d'air, la variation $ρ g h \approx 1, 2 \times 9, 8 \times 3 \approx 35$ $Pa$ est négligeable devant $1 0^{5}$ $Pa$ : la pression d'une pièce est quasi uniforme. À l'échelle de l'atmosphère entière (des kilomètres), la pression chute bel et bien — mais il faut alors tenir compte de la variation de $ρ$ avec l'altitude.

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