Un projectile est lancé du sol avec une vitesse v₀ faisant l'angle α…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 4 — Mouvement d'un système · Vers l'accélération et la deuxième loi de Newton

Énoncé

Un projectile est lancé du sol avec une vitesse $v_{0}$ faisant l'angle $α$ avec l'horizontale (air négligé). On admet

$x = v_{0} cos α \cdot t, z = v_{0} sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} .$

Calculer la durée du vol, puis montrer que la portée vaut $D = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g}$ .
Pour quel angle la portée est-elle maximale ? Application : $v_{0} = 20 m / s$ .

Corrigé

1. Retour au sol : $z = 0$ avec $t \neq = 0$ , soit $t = \frac{2 v _{0} sin α}{g}$ . En reportant dans $x$ :

$D = v_{0} cos α \times \frac{2 v _{0} sin α}{g} = \frac{v _{0}^{2} \times 2 sin α cos α}{g} = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g} .$

2. $sin (2 α)$ est maximal (égal à $1$ ) pour $2 α = 9 0^{\circ}$ , soit $α = 4 5^{\circ}$ . Alors

$D_{m a x} = \frac{v _{0}^{2}}{g} = \frac{2 0 ^{2}}{9 , 8} = 41 m .$

Contrôle : deux angles complémentaires — $3 0^{\circ}$ et $6 0^{\circ}$ par exemple — donnent la même portée, puisque $sin (2 α) = sin (18 0^{\circ} - 2 α)$ ✓. Les artilleurs le savaient bien avant Newton.

Piège : croire que $4 5^{\circ}$ reste optimal en présence d'air. Pour un javelot ou un ballon, l'angle optimal descend vers $35$ – $4 0^{\circ}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.