Une bille est lâchée sans vitesse d'une hauteur h sur un rail qui la…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 6 — Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques · D'autres énergies, d'autres bilans

Énoncé

Une bille est lâchée sans vitesse d'une hauteur $h$ sur un rail qui la conduit dans une boucle verticale (« looping ») de rayon $R = 0, 30$ m. On admet qu'au sommet de la boucle, le contact avec le rail exige $v_{s}^{2} \geq g R$ (frottements négligés).

Exprimer $v_{s}$ en fonction de $h$ et $R$ par conservation de l'énergie mécanique.
En déduire la hauteur minimale de lâcher, et la calculer.
Pourquoi $h_{m i n}$ ne dépend-elle pas de la masse ?

Corrigé

1. Le sommet de la boucle est à l'altitude $2 R$ . Conservation entre le lâcher et ce sommet :

$m g h = \frac{1}{2} m v_{s}^{2} + m g (2 R) ⟹ v_{s}^{2} = 2 g (h - 2 R) .$

2. La condition $v_{s}^{2} \geq g R$ s'écrit $2 g (h - 2 R) \geq g R$ , soit

$h \geq 2 R + \frac{R}{2} = \frac{5 R}{2} = 2, 5 \times 0, 30 = 0, 75 m .$

3. Parce que la masse s'élimine dès la première ligne : elle figure dans les trois termes du bilan énergétique, comme dans la condition de contact. C'est la même raison qui fait tomber ensemble la plume et le marteau.

Contrôle : $h_{m i n} = 2, 5 R$ est bien supérieur à $2 R$ , hauteur du sommet — il faut arriver là-haut avec de la vitesse, pas seulement y arriver ✓.

Piège : poser $h_{m i n} = 2 R$ , en croyant qu'il suffit d'atteindre le sommet. Une bille qui y parviendrait à vitesse nulle décollerait du rail bien avant et tomberait à l'intérieur de la boucle.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.