Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Cours complet · physique (première), chapitre 6 · première, spécialité physique-chimie

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Le chapitre 4 reliait forces et variation de vitesse vectoriellement. Voici le second point de vue, souvent plus efficace : celui de l'énergie. Le travail d'une force mesure l'énergie qu'elle transfère ; le théorème de l'énergie cinétique en fait le bilan ; et l'énergie mécanique, conservée ou dissipée, révèle d'un coup d'œil la physique d'une chute, d'un pendule ou d'un freinage.

6.1 Énergie cinétique

Définition 6.1Énergie cinétique

Un système de masse $m$ , modélisé par un point matériel animé d'une vitesse de valeur $v$ , possède l'énergie cinétique

$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} (E_{c} en J, m en kg, v en m / s) .$

Exemple 6.2

Voiture de $1200$ kg à $50$ km/h ( $13, 9 m / s$ ) : $E_{c} = \frac{1}{2} \times 1200 \times 13, 9^{2} \approx 1, 2 \times 1 0^{5}$ $J$ . À $100$ km/h, la vitesse double et l'énergie quadruple ( $4, 6 \times 1 0^{5}$ $J$ ) : le carré de $v$ est la raison physique de l'allongement spectaculaire des distances de freinage.

Le carré fait toute la différence : $E_{c}$ n'est pas proportionnelle à la vitesse mais à son carré. Doubler $v$ ne double pas l'énergie, il la quadruple — et c'est cette énergie qu'il faudra évacuer pour s'arrêter. La courbe monte de plus en plus vite : chaque km/h supplémentaire coûte plus cher que le précédent.

6.2 Travail d'une force constante

Définition 6.3Travail

Le travail d'une force constante $F$ dont le point d'application se déplace de $A$ à $B$ est le produit scalaire (capacité mathématique du chapitre Produit scalaire !) :

$W_{A B} (F) = F \cdot A B = F \times A B \times cos α,$

où $α$ est l'angle entre la force et le déplacement. Le travail s'exprime en joules : c'est l'énergie transférée au système par la force le long du trajet.

Le signe du travail se lit sur l'angle : une force qui « aide » le mouvement travaille positivement, une force qui s'y oppose négativement, une force perpendiculaire ne travaille pas (la réaction normale d'un support, jamais).

◆Théorème 6.4Deux travaux à connaître

Poids (force constante $m g$ vers le bas) : pour un déplacement de $A$ (altitude $z_{A}$ ) à $B$ (altitude $z_{B}$ ),

$W_{A B} (P) = m g (z_{A} - z_{B}) :$

positif en descente, négatif en montée, et surtout indépendant du chemin suivi — seule compte la dénivellation.

Frottement d'intensité constante $f$ sur une trajectoire rectiligne de longueur $A B$ : la force est opposée au mouvement ( $α = 18 0^{\circ}$ ),

$W_{A B} (f) = - f \times A B$

— toujours résistant, et d'autant plus grand que le chemin est long : il dépend du chemin.

Démonstration (travail du poids). Dans un repère d'axe $z$ vertical ascendant, $P$ a pour coordonnées $(0; 0; - m g)$ et $A B$ pour coordonnées $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ . Le produit scalaire en coordonnées donne

$W_{A B} (P) = 0 + 0 + (- m g) (z_{B} - z_{A}) = m g (z_{A} - z_{B}) . □$

Trois trajets pour aller de $A$ à $B$ . Le travail du poids vaut $m g h$ pour les trois : seule la dénivellation compte, jamais le détour. Celui du frottement, $- f \times L$ , vaut au contraire $- f L_{2}$ , $- f L_{1}$ ou $- f L_{3}$ selon le chemin emprunté — c'est toute la différence entre une force conservative et une force qui ne l'est pas.

Définition 6.5Puissance

Un transfert d'énergie $W$ effectué pendant une durée $Δ t$ correspond à une puissance moyenne

$P = \frac{W}{Δ t} (P en watts, W en joules, Δ t en secondes) .$

La même énergie transférée deux fois plus vite correspond à une puissance deux fois plus grande : c'est la puissance, et non l'énergie, qui dit à quelle vitesse le transfert se fait.

6.3 Le théorème de l'énergie cinétique

◆Théorème 6.6Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un point matériel entre $A$ et $B$ est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s'exercent sur lui :

$Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = \sum W_{A B} (F) .$

iRemarque

C'est le second lien entre forces et vitesse annoncé au chapitre 4 — scalaire celui-ci : pas de vecteurs à construire, mais des énergies à compter. Il est roi dès que la question porte sur des vitesses et des distances, sans souci de durée.

Exemple 6.7Distance de freinage

Une voiture ( $m = 1200$ kg, $v = 13, 9 m / s$ ) freine en ligne droite jusqu'à l'arrêt, sous une force de freinage constante $f = 8000$ $N$ (poids et réaction normale ne travaillent pas). Le théorème donne

$0 - \frac{1}{2} m v^{2} = - f d ⟹ d = \frac{m v ^{2}}{2 f} = \frac{1 200 \times 13 , 9 ^{2}}{2 \times 8 000} \approx 14, 5 m .$

À $100$ km/h, $v^{2}$ quadruple : $d \approx 58$ m — le théorème rend le danger quantitatif.

La conséquence du carré, à l'échelle sur la chaussée. À $100$ km/h, la voiture est encore lancée à pleine allure là où celle de $50$ km/h était déjà immobile ( $14, 5$ m), et il lui reste plus de $40$ m à parcourir. Le théorème de l'énergie cinétique ne fait pas que justifier ce chiffre : il le prédit, à partir de la seule force de freinage.

6.4 Forces conservatives et énergie potentielle

Définition 6.8Force conservative

Une force est conservative lorsque son travail ne dépend pas du chemin suivi, seulement des points de départ et d'arrivée. Le poids l'est ; les frottements ne le sont pas. À toute force conservative on associe une énergie potentielle $E_{p}$ telle que

$W_{A B} = E_{p} (A) - E_{p} (B) :$

le travail puise dans une réserve d'énergie liée à la position.

◆Théorème 6.9Énergie potentielle de pesanteur

Au voisinage de la surface de la Terre, avec un axe $z$ vertical ascendant :

$E_{pp} = m g z (+ constante arbitraire) .$

En effet $W_{A B} (P) = m g (z_{A} - z_{B}) = E_{pp} (A) - E_{pp} (B)$ . L'origine des altitudes se choisit librement (sol, table…) : seules les différences d'énergie potentielle ont un sens physique.

L'origine des altitudes est un choix, pas une donnée. Au sol ou sur la table, les énergies potentielles de $A$ et de $B$ ne sont pas les mêmes — mais leur différence, la seule chose qui ait un sens physique, vaut $0, 8 m g$ dans les deux cas. C'est pourquoi on peut placer le zéro là où cela arrange le calcul.

6.5 Énergie mécanique : conservation et dissipation

Définition 6.10Énergie mécanique

$E_{m} = E_{c} + E_{pp} .$

◆Théorème 6.11Conservation et non conservation

Si le système n'est soumis qu'à des forces conservatives (ou à des forces qui ne travaillent pas) : $E_{m}$ se conserve — l'énergie ne fait que s'échanger entre forme cinétique et forme potentielle. Cas types : chute libre, pendule sans frottement.
En présence de forces non conservatives (frottements…) :

$Δ E_{m} = W (forces non conservatives) :$

l'énergie mécanique diminue (dissipation en chaleur) — ou augmente si un moteur fournit du travail.

Exemple 6.12Chute libre : l'échange parfait

Une balle lâchée de $h = 5, 0$ m (origine des altitudes au sol, vitesse initiale nulle) : $E_{m} = m g h$ tout du long. Au sol, $E_{pp} = 0$ et donc $\frac{1}{2} m v^{2} = m g h$ :

$v = 2 g h = 2 \times 9, 8 \times 5, 0 \approx 9, 9 m / s,$

indépendamment de la masse — et sans résoudre aucune équation de mouvement : la force du point de vue énergétique.

Chute libre : l'énergie potentielle (vert) se convertit intégralement en énergie cinétique (bleu) ; leur somme $E_{m}$ (orange, pointillé) reste rigoureusement constante.

Exemple 6.13Pendule et frottements

Un pendule lâché d'une hauteur $h$ remonte, sans frottement, exactement à $h$ de l'autre côté (conservation : $m g h \to \frac{1}{2} m v^{2} \to m g h$ ). Réellement, il remonte un peu moins haut à chaque oscillation : la différence $Δ E_{m} = m g (h^{'} - h) < 0$ mesure le travail des frottements — et le pendule finit par s'arrêter, toute l'énergie mécanique dissipée en chaleur.

Le pendule est lâché en (1), revient en (2), repart en (3) : $h_{0} > h_{1} > h_{2}$ . Sans frottement les trois hauteurs seraient égales ; le manque à gagner $Δ E_{m} = m g (h_{i + 1} - h_{i})$ est le travail des frottements sur le trajet — on le mesure donc à la règle, sans rien savoir du détail du mouvement.

Méthode : Mesurer un travail de frottement

Quand on connaît l'état initial et l'état final (vitesses, altitudes), on calcule $E_{m}$ aux deux instants :

$W (frottements) = Δ E_{m} = E_{m} (final) - E_{m} (initial)$

— sans rien savoir du détail du mouvement. Si de plus la trajectoire est rectiligne de longueur $L$ et $f$ constante : $f = \frac{∣Δ E _{m} ∣}{L}$ .

6.6 Capacité numérique : bilan énergétique en Python

À partir d'un pointage (positions et instants), le programme reconstitue les trois énergies. La balle tombe, rebondit, puis remonte moins haut : le bilan énergétique doit le montrer.


# Pointage d'une balle lâchée de 0.784 m, qui rebondit au sol
# (m = 0.058 kg, dt = 40 ms ; l'impact tombe sur le point d'indice 10)
dt, m, g = 0.040, 0.058, 9.8
y = [0.784, 0.776, 0.753, 0.713, 0.659, 0.588, 0.502, 0.400, 0.282,
     0.149, 0.000, 0.110, 0.204, 0.282, 0.345, 0.392, 0.423]

# Vitesse CENTREE : on encadre le point i, pour que Ec et Ep soient
# evaluees au meme instant (sinon Em derive artificiellement).
# Le point de contact (y = 0) est ecarte : son encadrement traverse
# l'impact, la vitesse centree n'y aurait pas de sens.
Ec, Ep, Em = [], [], []
for i in range(1, len(y) - 1):
    if y[i] == 0.0:
        continue
    v = (y[i+1] - y[i-1]) / (2 * dt)
    Ec.append(0.5 * m * v**2)
    Ep.append(m * g * y[i])
    Em.append(Ec[-1] + Ep[-1])

for i in range(len(Em)):
    print(round(Ec[i], 3), round(Ep[i], 3), round(Em[i], 3))
# Avant l'impact : Em = 0.445 J a chaque ligne -> conservation verifiee.
# Apres l'impact : Em = 0.251 J. La balle a perdu 0.195 J (44 %),
# dissipes en chaleur et en son pendant le choc.

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