Ondes mécaniques

Cours complet · physique (première), chapitre 7 · première, spécialité physique-chimie

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Une pierre tombe dans l'eau : des rides s'élargissent, un bouchon posé plus loin monte et descend — mais ne s'approche pas du bord. La perturbation voyage, la matière reste : c'est une onde mécanique. Houle, séismes, sons : ce chapitre décrit leur propagation (célérité, retard), puis le cas fondamental des ondes périodiques, avec leur double périodicité — la période $T$ et la longueur d'onde $λ$ — reliées par $λ = c T$ .

7.1 Onde mécanique progressive

Définition 7.1Onde mécanique progressive

Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière mais avec transport d'énergie : chaque portion du milieu, déplacée de sa position d'équilibre, entraîne la suivante de proche en proche, puis y retourne.

Exemple 7.2Trois ondes, trois milieux

La houle déforme la surface de l'eau ; les ondes sismiques traversent la Terre ; une onde sonore est une succession de compressions et de dilatations de l'air. Dans les trois cas, le milieu vibre sur place : le bouchon sur l'eau, comme la poussière dans l'air d'un concert, danse sans voyager.

Le cœur de la définition, en trois instants. Le bouchon (orange) reste sur la même verticale : il monte et descend sur place, il ne voyage pas. La crête (verte), elle, se déplace vers la droite. Il n'y a donc aucun transport de matière — seulement une perturbation, et l'énergie qu'elle emporte, qui traversent le milieu.

Deux familles d'ondes : sur la corde, la perturbation est perpendiculaire à la propagation ; dans le ressort — et dans l'air pour le son — le milieu se comprime et se détend le long de la direction de propagation.

7.2 Célérité et retard

Définition 7.3Célérité

La célérité $c$ d'une onde est la vitesse de propagation de la perturbation :

$c = \frac{d}{Δ t}$

( $d$ : distance parcourue par la perturbation pendant $Δ t$ ). On dit « célérité » plutôt que « vitesse » car rien de matériel ne se déplace à cette allure.

Définition 7.4Retard

Le retard $τ$ est la durée que met la perturbation pour aller d'un point $A$ à un point $B$ :

$τ = \frac{A B}{c} :$

le point $B$ reproduit le mouvement de $A$ , décalé de $τ$ .

En haut, la corde vue de dessus : la perturbation passe en $A$ , puis en $B$ . En dessous, ce qu'enregistrent deux capteurs placés en ces points : la même courbe, simplement décalée du retard $τ$ . Mesurer ce décalage sur deux chronogrammes, c'est mesurer $A B$ si l'on connaît $c$ — ou $c$ si l'on connaît $A B$ .

iRemarqueLa célérité dépend du milieu

Onde et milieu	Célérité
Son dans l'air ( $20^{\circ}$ C)	$340 m / s$
Son dans l'eau	$1500 m / s$
Son dans l'acier	$5800 m / s$
Houle au large	$\sim 10 m / s$
Onde sismique P	$\sim 6000 m / s$
Onde le long d'une corde	$\sim 1$ -- $100 m / s$ (croît avec la tension)

Plus le milieu est rigide, plus l'onde y court vite — coller l'oreille au rail fait entendre le train bien avant l'air.

Exemple 7.5Localiser une source : l'orage

L'éclair (lumière, quasi instantanée) précède le tonnerre (son). Compter $Δ t = 6$ s entre les deux :

$d = c Δ t = 340 \times 6, 0 = 2, 0 \times 1 0^{3} m \approx 2 km .$

Trois secondes par kilomètre : la règle du promeneur. Le même principe — comparer des retards — permet aux réseaux de sismographes de localiser l'épicentre d'un séisme, et au sonar de mesurer une profondeur.

7.3 Ondes périodiques : la double périodicité

Définition 7.6Onde périodique, onde sinusoïdale

Une onde est périodique lorsque la source répète identiquement la même perturbation ; elle est sinusoïdale lorsque la vibration de chaque point est une fonction sinus du temps (capacité mathématique : les représentations de $sin$ et $cos$ ). Une onde périodique possède une double périodicité :

temporelle : en un point fixé, la vibration se répète à chaque période $T$ (fréquence $f = 1/ T$ ) ;
spatiale : à un instant fixé, le motif se répète à chaque longueur d'onde $λ$ — la distance entre deux crêtes consécutives.

Les deux visages d'une même onde sinusoïdale : la période $T$ se lit sur un chronogramme (un point, tout le temps), la longueur d'onde $λ$ sur une photographie (tout l'espace, un instant). Ne jamais confondre les deux axes !

◆Théorème 7.7Relation fondamentale

$λ = c T = \frac{c}{f}$

Justification : pendant une période $T$ , chaque point refait exactement un cycle, et la perturbation avance de $c \times T$ ; le motif se retrouve donc identique à lui-même à la distance $c T$ — qui est, par définition, la longueur d'onde. La longueur d'onde dépend de la source (par $T$ ) et du milieu (par $c$ ).

Deux photographies de la même onde, séparées d'exactement une période. Le motif est inchangé : il a seulement glissé de $c T$ — donc la distance entre deux crêtes vaut $c T$ . La relation $λ = c T$ n'est pas à retenir par cœur, elle se lit sur cette figure.

Exemple 7.8

Le la du diapason ( $f = 440$ Hz) dans l'air : $λ = \frac{340}{440} \approx 77$ cm ; dans l'eau : $λ = \frac{1 500}{440} \approx 3, 4$ m. Même source, même fréquence — mais la longueur d'onde change avec le milieu.

Même diapason, deux milieux, même échelle de distances. La source impose la fréquence ( $440$ Hz) — donc la période, identique partout. Mais le son court quatre fois plus vite dans l'eau, et comme $λ = c T$ , la longueur d'onde y est quatre fois plus grande. La fréquence appartient à la source, la longueur d'onde au couple source-milieu.

Méthode : Lire les caractéristiques d'une onde

Sur une représentation temporelle (axe en secondes) : lire $T$ entre deux motifs, en déduire $f = 1/ T$ .
Sur une représentation spatiale (axe en mètres) : lire $λ$ entre deux crêtes.
En combinant les deux : $c = λ / T$ . Une chaîne de mesure (micro + carte d'acquisition, capteur ultrasonore) fournit l'une et l'autre.

7.4 Capacités numériques

1. Représenter un signal périodique — et illustrer l'influence de la période et de l'amplitude :


import matplotlib.pyplot as plt
from math import sin, pi

def signal(A, T, duree, n=500):
    temps = [duree * i / n for i in range(n + 1)]
    y = [A * sin(2 * pi * t / T) for t in temps]
    return temps, y

for A, T in [(1.0, 2.0), (1.0, 1.0), (0.5, 2.0)]:
    t, y = signal(A, T, 4.0)
    plt.plot(t, y, label=f"A={A}, T={T} s")
plt.xlabel("t (s)"); plt.legend(); plt.grid(); plt.show()
# Diviser T par 2 resserre les oscillations (frequence doublee) ;
# diviser A par 2 ecrase la courbe sans changer le rythme.

2. Simuler la propagation d'une onde périodique — l'élongation d'un point d'abscisse $x$ reproduit celle de la source avec le retard $τ = x / c$ :


def onde(x, t, A=1.0, T=1.0, c=2.0):
    # Elongation au point x a l'instant t (source en x = 0)
    retard = x / c
    if t < retard:
        return 0                      # la perturbation n'est pas arrivee
    return A * sin(2 * pi * (t - retard) / T)

# Photographie de la corde a l'instant t = 3 s :
X = [4 * i / 400 for i in range(401)]
plt.plot(X, [onde(x, 3.0) for x in X])
plt.xlabel("x (m)"); plt.ylabel("y"); plt.show()
# La sinusoide s'etend jusqu'a x = c t = 6 m > 4 m : toute la corde vibre,
# et le motif se repete tous les lambda = c T = 2 m.

iRemarque

La formule sin(2pi(t - x/c)/T) contient toute la physique du chapitre : le retard $x / c$ , la période $T$ , et la double périodicité — en $t$ à $x$ fixé, en $x$ à $t$ fixé (période spatiale $c T = λ$ ).

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