physique (première) · Chapitre 6 · Exercice d'entraînement

Une éolienne a un rotor de m de diamètre

Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques · Dissipation, frottements et rendements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une éolienne a un rotor de $80$ m de diamètre ; le vent souffle à $12 m / s$ et l'air a une masse volumique $ρ = 1, 2 kg / m^{3}$ .

Montrer que la puissance cinétique du vent traversant le rotor vaut $P = \frac{1}{2} ρS v^{3}$ .
La calculer.
Le rendement global de la machine vaut $45 %$ . Quelle puissance électrique délivre-t-elle ? Que se passe-t-il si le vent double ?

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1. Montrer que la puissance cinétique du vent traversant le rotor vaut $P = \frac{1}{2} ρS v^{3}$ .

Élève

Je vois la formule à démontrer, mais je ne sais pas d'où sort le $v^{3}$ . Par où commencer ?

Pars de ce que tu connais : l'énergie cinétique d'une masse $m$ animée d'une vitesse $v$ . Écris-la, puis demande-toi quelle masse d'air traverse le rotor pendant une durée donnée. Que te faut-il pour relier cette masse au volume d'air ?

Élève

L'énergie cinétique, c'est $\frac{1}{2} m v^{2}$ . Pour la masse, je penserais à $m = ρ V$ , mais quel volume prendre ?

Bonne piste. Prends une durée simple, par exemple une seconde : l'air qui traverse le rotor forme un cylindre dont tu connais la section $S$ et la vitesse $v$ . Quel volume ce cylindre occupe-t-il, et quelle masse d'air cela représente-t-il ?

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