Une corde de guitare de longueur L = 0,65 m, fixée à ses deux…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · physique (première), chapitre 7 — Ondes mécaniques · Cordes vibrantes et effet Doppler

Énoncé

Une corde de guitare de longueur $L = 0, 65$ m, fixée à ses deux extrémités, ne peut vibrer qu'aux longueurs d'onde telles que $L = n \frac{λ}{2}$ ( $n$ entier $⩾ 1$ ). La célérité des ondes y vaut $c = 120 m / s$ .

Exprimer les fréquences propres $f_{n}$ en fonction de $n$ , $c$ et $L$ .
Calculer les trois premières.
Un guitariste pose le doigt exactement au milieu de la corde. Quelle est la nouvelle fréquence fondamentale ? Quel intervalle musical cela représente-t-il ?

Corrigé

1. $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ , et $f_{n} = \frac{c}{λ _{n}}$ :

$f_{n} = n \frac{c}{2 L}$

Les fréquences propres sont donc toutes multiples de la fondamentale $f_{1}$ — c'est l'origine physique de l'harmonie.

2. $\frac{c}{2 L} = \frac{120}{2 \times 0 , 65} = 92, 3$ Hz, d'où $f_{1} = 92$ Hz, $f_{2} = 185$ Hz, $f_{3} = 277$ Hz.

3. La longueur vibrante devient $L /2 = 0, 325$ m, donc $f_{1}^{'} = \frac{120}{2 \times 0 , 325} = 185$ Hz : la fréquence double. C'est l'octave — la douzième case, sur un manche de guitare, est exactement au milieu de la corde.

Contrôle : $f_{1}^{'} = f_{2}$ , ce qui est cohérent : diviser la longueur par deux, c'est imposer le mode $n = 2$ de la corde entière.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.