Un vidéoprojecteur porte une diapositive de mm de large

1. L'image est recueillie sur un écran : elle est réelle, donc renversée et $\gamma <0$ :

$$\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{-1,20}{0,024}=-50.$$

2. On dispose de deux relations : $\overline{O{A}^{\prime }}=\gamma \overline{OA}$ et, la diapositive étant avant la lentille et l'écran après, $\overline{O{A}^{\prime }}-\overline{OA}=D=4,00$ m. D'où

$$\gamma \overline{OA}-\overline{OA}=D⟹\overline{OA}=\frac{D}{\gamma -1}=\frac{4,00}{-51}=-7,84\times 10^{-2}\text{m}=-7,84\text{cm},$$

puis $\overline{O{A}^{\prime }}=-50\times (-0,0784)=+3,92$ m.

3. Relation de conjugaison :

$$\frac{1}{f^{\prime }}=\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{3,92}+\frac{1}{0,0784}=0,255+12,75=13,0{\text{m}}^{-1},$$

soit $f^{\prime }=7,69\times 10^{-2}$ m $\approx 7,7$ cm.

4. Il faut rapprocher la diapositive du foyer $F$ (donc rapprocher la lentille de la diapositive) et reculer l'écran : quand l'objet s'approche de $F$, l'image s'éloigne et grandit sans limite.

Contrôle : $\overline{O{A}^{\prime }}-\overline{OA}=3,92+0,0784=4,00$ m ✓ et $|\gamma |=3,92/0,0784=50$ ✓. La focale trouvée ($\approx 8$ cm pour une diapositive projetée à $4$ m) est bien celle d'un objectif de projection courant.

Piège : confondre $D$ avec $\overline{O{A}^{\prime }}$. La donnée est la distance objet--écran, c'est-à-dire $\overline{O{A}^{\prime }}-\overline{OA}$ : prendre $\overline{O{A}^{\prime }}=4,00$ m donnerait $f^{\prime }=7,84$ cm, faux de $2\%$ — et surtout faux de méthode.