Coefficients R et T de la marche par les courants — exercice corrigé de physique quantique (MP) (chapitre 3)

Coefficients

R

T

de la marche par les courants

Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel · niveau 2

Énoncé

(MP) Pour une onde plane $A e^{i k x}$ , le courant de probabilité vaut $J = \frac{ℏ k}{m} ∣ A ∣^{2}$ . a) Pour la marche $E > V_{0}$ (montante ou descendante), exprimer $R = ∣ J_{r} ∣ / J_{i}$ et $T = J_{t} / J_{i}$ en fonction de $r = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$ et $t = \frac{2 k _{1}}{k _{1} + k _{2}}$ , et vérifier $R + T = 1$ . b) Électron de $1 e V$ entrant dans un métal où son énergie potentielle vaut $- 10 e V$ : calculer $R$ et $T$ . c) Marche montante abordée avec $E = 2 V_{0}$ : $t = 1, 17$ ; calculer $T$ . d) Que vaut $T$ pour $E < V_{0}$ ? e) Dans la simulation de l'électron devant une barrière (TD), le minimum et le maximum des franges donnent $∣ r ∣ = 0, 642$ et le plateau vaut $0, 588$ pour $a = 0, 2 nm$ : que vérifie-t-on ?

Corrigé

a) Région 1 : $J_{i} = \frac{ℏ k _{1}}{m} ∣ A_{i} ∣^{2}$ , $∣ J_{r} ∣ = \frac{ℏ k _{1}}{m} ∣ A_{r} ∣^{2}$ ; région 2 : $J_{t} = \frac{ℏ k _{2}}{m} ∣ A_{t} ∣^{2}$ . Donc

$R = r^{2} = (\frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}})^{2}, T = \frac{k _{2}}{k _{1}} t^{2} = \frac{4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}},$

et $R + T = \frac{( k _{1} - k _{2} ) ^{2} + 4 k _{1} k _{2}}{( k _{1} + k _{2} ) ^{2}} = 1$ . Le facteur $k_{2} / k_{1}$ est le rapport des vitesses $ℏ k / m$ : le courant est une densité multipliée par une vitesse. b) $k_{2} / k_{1} = 11 = 3, 32$ , $r = - 0, 537$ , $t = 0, 463$ : $R = 0, 288$ et $T = 3, 32 \times 0, 215 = 0, 712$ , soit $R + T = 1$ . Près de trois électrons lents sur dix sont renvoyés dans le vide par une marche qui les attire. c) $k_{2} / k_{1} = 1/ 2$ : $T = 0, 707 \times 1, 1 7^{2} = 0, 971$ et $R = 0, 17 2^{2} = 0, 029$ . La densité transmise est plus grande que l'incidente ( $t^{2} = 1, 37$ ), mais la particule y va $2$ fois moins vite : le courant transmis est plus petit que le courant incident. Le paradoxe $t > 1$ est levé. d) Pour $E < V_{0}$ , $φ_{2} = A_{t} e^{- κ x}$ est réelle à une phase globale près, donc $J_{2} = \frac{ℏ}{m} Im (φ_{2}^{*} \frac{d φ _{2}}{d x}) = 0$ : $T = 0$ et $R = ∣ r ∣^{2} = 1$ . L'onde évanescente ne transporte aucun courant. e) Pour la barrière, la région de sortie a le même vecteur d'onde que la région d'entrée : $T = ∣ t ∣^{2}$ , le plateau. On vérifie $∣ r ∣^{2} + plateau = 0, 412 + 0, 588 = 1, 000$ : c'est $R + T = 1$ , lu sur la simulation.