Des électrons lents qui entrent dans un métal : la marche que l'on franchit, et qui réfléchit

La stratégie. On écrit la solution dans chaque région, on élimine l'onde qui n'a pas de source, et les deux conditions de continuité en $x=0$ fixent les deux rapports d'amplitude. La réflexion se lit ensuite dans la densité de présence : l'onde incidente et l'onde réfléchie, qui appartiennent au même état, interfèrent.

1) La solution. Dans le vide, $E-V=E$ ; dans le métal, $E-V=E+V_{\mathrm{in}}$ : $$k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash },k_2=\frac{\sqrt{2m(E+V_{\mathrm{in}})}}{\hslash }>k_1.$$ Une onde en ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{2}x}$ se propagerait vers les $x$ décroissants : elle viendrait de $x\to +\infty$, où il n'y a aucune source ; on la rejette. Les conditions de continuité en $x=0$ donnent $$A_i+A_r=A_t\text{et}\mathrm{i}{k}_1(A_i-A_r)=\mathrm{i}{k}_2{A}_t.$$ En reportant $A_t=A_i+A_r$ dans la seconde : $k_1(A_i-A_r)=k_2(A_i+A_r)$, donc $$r=\frac{A_r}{A_i}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},t=\frac{A_t}{A_i}=1+r=\frac{2k_1}{k_1+k_2}.$$ Ce sont les formules de la marche montante du cours : elles ne supposent rien sur le signe de la marche. Ici $k_2>k_1$, donc $r<0$ et $0<t<1$. Un électron classique est accéléré vers le métal par la force $-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}$, dirigée vers les $x$ croissants à la surface : il entre toujours, jamais il ne rebrousse chemin. Quantiquement, l'onde réfléchie a une amplitude non nulle dès que $k_1\ne k_2$ : l'électron peut être renvoyé dans le vide par une marche qui l'attire.

2) La réflexion se voit dans la densité de présence. Avec ${\phi }_1=A_i\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{1}x}+r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{1}x}\right)$ et $r$ réel : $$|{\phi }_1{|}^2=A_i^2\left(1+r^2+r{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}{k}_{1}x}+r{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}{k}_{1}x}\right)=A_i^2\left(1+r^2+2r\cos 2k_{1}x\right).$$ Comme $r<0$, les maxima, de valeur $A_i^2(1+|r|{)}^2$, sont aux points où $\cos 2k_{1}x=-1$, et les minima, de valeur $A_i^2(1-|r|{)}^2$, aux points où $\cos 2k_{1}x=1$, dont $x=0$ : la surface est sur un minimum. La période en $x$ est l'interfrange $\frac{\pi }{k_1}=\frac{{\lambda }_1}{2}$, et le contraste vaut $$C=\frac{(1+|r|{)}^2-(1-|r|{)}^2}{(1+|r|{)}^2+(1-|r|{)}^2}=\frac{2|r|}{1+r^2}.$$ L'état est stationnaire : $|\psi (x,t){|}^2=|\phi (x){|}^2$ ne dépend pas du temps, les franges sont immobiles. Ce ne sont pas deux particules qui interfèrent, mais les deux termes d'une même fonction d'onde. Dans le métal, $|{\phi }_2{|}^2=|A_t{|}^2=t^2{A}_i^2$ est uniforme : une onde progressive seule a un module constant, il faut deux ondes pour faire des franges. Contrôle : en $x=0$, $(1+r{)}^2=t^2$, les deux régions se raccordent.

3) Électron de $1\mathrm{eV}$. $\frac{k_2}{k_1}=\sqrt{\frac{E+V_{\mathrm{in}}}{E}}=\sqrt{11}=3,32$, donc $$r=\frac{1-3,32}{1+3,32}=-0,537,t=1+r=0,463.$$ La longueur d'onde dans le vide vaut ${\lambda }_1=\frac{2\pi }{k_1}=\frac{2\pi \hslash }{\sqrt{2m_{e}E}}=1,23\mathrm{nm}$, d'où l'interfrange $0,613\mathrm{nm}$ ; le contraste vaut $C=\frac{2\times 0,537}{1+0,288}=0,83$. Maxima $2,36A_i^2$, minima $0,215A_i^2$, plateau dans le métal $t^2{A}_i^2=0,215A_i^2$. Une onde réfléchie d'amplitude moitié de l'onde incidente, des franges contrastées à 83 % : pour un électron lent, la réflexion est massive, alors que rien de classique ne s'oppose à son entrée.

4) Cas limites. Électron rapide, $E=100\mathrm{eV}$ : $k_2/k_1=\sqrt{1,1}=1,049$ et $r=-0,024$, contraste $0,05$ : on retrouve à peu près le comportement classique. En général, pour $E\gg V_{\mathrm{in}}$, $\frac{k_2}{k_1}=\sqrt{1+\frac{V_{\mathrm{in}}}{E}}\approx 1+\frac{V_{\mathrm{in}}}{2E}$, donc $$r=\frac{1-k_2/k_1}{1+k_2/k_1}\approx \frac{-V_{\mathrm{in}}/(2E)}{2}=-\frac{V_{\mathrm{in}}}{4E},$$ soit $-0,025$ ici : la marche n'est qu'une petite perturbation pour une particule très énergétique. Électron lent, $E=0,1\mathrm{eV}$ : $k_2/k_1=\sqrt{101}=10,05$ et $r=-0,82$ ; quand $E\to 0$, $r\to -1$, la réflexion devient totale sur une marche descendante. C'est la « réflexion quantique », observée avec des atomes ultra-froids qui approchent une surface qui les attire. Marche montante, $E\to V_0^{+}$ : $k_2\to 0$, donc $r\to 1$ et $t\to 2$ ; pour $E=1,01V_0$, $k_2/k_1=0,0995$ et $r=0,82$ déjà. Le raccord est continu avec le cas $E<V_0$, où la réflexion est totale.

5a) Symétrie. Marche montante à $E=2V_0$ : $\frac{k_2}{k_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $r=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=+0,172$. Marche descendante avec $\frac{k_2}{k_1}=\sqrt{2}$ : $r=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=-0,172$. Même module, signe opposé : $r$ change de signe quand on échange $k_1$ et $k_2$. C'est la même marche parcourue dans les deux sens (énergie cinétique $V_0$ d'un côté, $2V_0$ de l'autre). La réflexion ne dépend que du rapport $k_2/k_1$, pas du sens de la marche, comme la réflexion d'une onde lumineuse en incidence normale ne dépend que du rapport des indices.

5b) Le paradoxe $t>1$. À $E=2V_0$ sur la marche montante : $t=\frac{2}{1+1/\sqrt{2}}=1,17$, et la densité transmise vaut $t^2=1,37$ fois celle de l'onde incidente. Rien n'est violé : $|\phi {|}^2$ est une densité de probabilité par unité de longueur, pas un nombre de particules qui passent par seconde. Au-delà de la marche, la particule est plus lente (par de Broglie, $p=\hslash k$, et $k_2<k_1$) : comme les voitures qui se resserrent sur une portion de route où l'on roule moins vite, elle passe plus de temps par unité de longueur, donc on a plus de chances de l'y trouver. Le bilan exact de ce qui passe et de ce qui revient se fait avec le courant de probabilité, qui n'est au programme qu'en MP (il y fait l'objet d'exercices résolus).

6) Validité. Le modèle abrupt est légitime si l'onde ne « voit » pas la structure de la transition, c'est-à-dire si sa longueur d'onde est grande devant l'épaisseur de celle-ci : ${\lambda }_1=1,23\mathrm{nm}\gg 0,1\mathrm{nm}$ à $1\mathrm{eV}$, et le modèle est bon. À $100\mathrm{eV}$, ${\lambda }_1=0,12\mathrm{nm}$ est de l'ordre de l'épaisseur : une transition progressive réfléchit encore moins qu'une marche abrupte, et le $r=-0,024$ calculé n'est qu'un majorant d'ordre de grandeur.

Ce que l'exercice installe. Établir la solution d'une marche, montante ou descendante : une onde par région, rejet de l'onde sans source, deux conditions de continuité, $r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}$. La réflexion se lit dans la densité de présence : franges immobiles d'interfrange ${\lambda }_1/2$ et de contraste $\frac{2|r|}{1+r^2}$, plateau uniforme côté transmis. Elle est d'autant plus forte que la particule est lente devant la marche, ne dépend que de $k_2/k_1$, et une amplitude transmise supérieure à $1$ n'a rien de paradoxal : une densité n'est pas un flux.