Limite E→ V₀ de la barrière — exercice corrigé de physique quantique (MP) (chapitre 3)

Limite

E \to V_{0}

de la barrière

Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel · niveau 2

Énoncé

(MP) Avec la formule fournie de l'exercice précédent, que devient $T$ quand $E \to V_{0}^{-}$ ? Application à $V_{0} = 2 e V$ , $a = 0, 5 nm$ . Pour $E > V_{0}$ , on fournit

$T = [1 + \frac{V _{0}^{2}}{4 E ( E - V _{0} )} sin^{2} (k_{2} a)]^{- 1}, k_{2} = \frac{2 m ( E - V _{0} )}{ℏ} :$

vérifier la continuité en $E = V_{0}$ et tracer $T (E)$ .

Corrigé

Quand $E \to V_{0}$ , $κ \to 0$ , donc $sinh (κa) \sim κa$ et

$\frac{V _{0}^{2}}{4 E ( V _{0} - E )} sinh^{2} (κa) \to \frac{V _{0}^{2}}{4 V _{0} ( V _{0} - E )} \cdot \frac{2 m ( V _{0} - E ) a ^{2}}{ℏ ^{2}} = \frac{m V _{0} a ^{2}}{2 ℏ ^{2}} (fini),$

donc

$T \to [1 + \frac{m V _{0} a ^{2}}{2 ℏ ^{2}}]^{- 1} .$

$T$ ne tend pas vers $1$ : pour $V_{0} = 2 e V$ et $a = 0, 5 nm$ , $\frac{m V _{0} a ^{2}}{2 ℏ ^{2}} = 3, 28$ et $T \to 0, 234$ . Une particule qui a juste l'énergie du sommet est réfléchie plus de trois fois sur quatre : la réflexion quantique sur les deux bords de la barrière subsiste. Pour $E > V_{0}$ , $sin (k_{2} a) \sim k_{2} a$ donne la même limite : $T$ est continu en $E = V_{0}$ . Au-delà, $T = 1$ exactement quand $k_{2} a = nπ$ (transparence par interférence des ondes réfléchies sur les deux bords, comme une lame à faces parallèles) : $E - V_{0} = 1, 50 e V$ pour $n = 1$ ; entre deux transparences, $T < 1$ .

Limite E→V0​ de la barrière

Énoncé

Corrigé

Limite $E \to V_{0}$ de la barrière