Lire une simulation : la densité de présence autour d'une barrière

La stratégie. Chaque trait du graphe a une cause : les franges viennent de l'interférence des ondes incidente et réfléchie, le plateau de l'onde transmise seule, la décroissance dans la barrière de l'onde évanescente. On lit $k$ sur l'interfrange, $|r|$ sur le contraste, $\kappa$ sur la façon dont les plateaux dépendent de $a$.

1) Les régions. À gauche, onde incidente et onde réfléchie, de même $k$ : leur interférence donne des franges immobiles. Dans la barrière, $B{\mathrm{e}}^{-\kappa x}+C{\mathrm{e}}^{\kappa x}$. À droite, l'onde transmise seule, $A_t{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(x-a)}$, de module constant : plateau. Un électron classique, d'énergie inférieure à $V_0$, serait toujours renvoyé : densité nulle à droite. Les plateaux non nuls sont l'effet tunnel, vu directement.

2) L'énergie. Deux maxima consécutifs sont distants de $\pi /k=\lambda /2$ : $0,613\mathrm{nm}$ pour les trois courbes (la même onde incidente), donc $\lambda =1,23\mathrm{nm}$ et $k=\frac{2\pi }{\lambda }=5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$. Avec $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m_e}=0,0381\times 5,12^2\mathrm{eV}$ : $$E=1,00\mathrm{eV}.$$

3) Le rapport d'amplitude réfléchie. À gauche, $|\phi {|}^2=|A_i{|}^2{\left|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}+r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}\right|}^2$ oscille entre $(1+|r|{)}^2$ et $(1-|r|{)}^2$ (en unités de $|A_i{|}^2$). Donc $$|r|=\frac{\sqrt{\max }-\sqrt{\min }}{\sqrt{\max }+\sqrt{\min }}.$$ Pour $0,2\mathrm{nm}$ : $\frac{1,642-0,358}{1,642+0,358}=0,642$ ; pour $0,4\mathrm{nm}$ : $\frac{1,905-0,094}{1,999}=0,906$ ; pour $0,6\mathrm{nm}$ : $\frac{1,977-0,023}{2,000}=0,977$. Plus la barrière est large, plus l'onde réfléchie approche l'amplitude incidente, et plus les franges approchent le contraste $1$ de la marche infranchissable : vue de gauche, une barrière épaisse est une marche.

4) La hauteur, par les plateaux. Entre $0,4$ et $0,6\mathrm{nm}$, le plateau est divisé par $\frac{0,180}{0,0451}=3,99$ pour $\Delta a=0,2\mathrm{nm}$. Avec un plateau proportionnel à ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ : $$2\kappa \Delta a=\ln 3,99=1,384,\kappa =3,46\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1},$$ puis $$V_0-E=\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m_e}=0,0381\times 3,46^2\mathrm{eV}=0,46\mathrm{eV},$$ d'où $V_0\approx 1,5\mathrm{eV}$. Contrôle de cohérence : avec ce $\kappa$, $\kappa a=1,4$ à $0,4\mathrm{nm}$ et $2,1$ à $0,6\mathrm{nm}$, des barrières tout juste épaisses : l'estimation est sûre à $10\%$ près, pas mieux. La simulation avait été faite avec $E=1,00\mathrm{eV}$ et $V_0=1,50\mathrm{eV}$ : $V_0-E=0,50\mathrm{eV}$, $\kappa =3,62\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, et la loi exponentielle prévoirait un rapport ${\mathrm{e}}^{2\kappa \times 0,2\mathrm{nm}}=4,26$ au lieu de $3,99$ : l'écart de $6\%$ vient des termes négligés, en ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$. Entre $0,2$ et $0,4\mathrm{nm}$, le rapport des plateaux, $3,27$, donnerait $V_0-E=0,33\mathrm{eV}$, faux d'un tiers : à $0,2\mathrm{nm}$, $\kappa a=0,72$, la barrière est mince et la loi exponentielle ne s'applique pas. On mesure une pente sur la partie rectiligne de la courbe, pas ailleurs.

5) Ce que dit la pente. Juste après l'entrée, ${\phi }_2\approx B{\mathrm{e}}^{-\kappa x}$ (le terme croissant y est plus petit d'un facteur ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}=0,013$ pour $0,6\mathrm{nm}$), donc $\ln |\phi {|}^2$ décroît avec la pente $-2\kappa =-7,2\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ : la valeur relevée, $-7,3\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, confirme $\kappa \approx 3,6\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$, cette fois sur la seule forme de l'onde évanescente. À la sortie, $\phi$ et sa dérivée se raccordent à l'onde transmise, de densité constante : la dérivée de $|\phi {|}^2$ y est nulle, car $\frac{\mathrm{d}|\phi {|}^2}{\mathrm{d}x}$ est continue et vaut zéro sur le plateau. Une exponentielle décroissante seule aurait la pente $-2\kappa$ jusqu'au bout et ne pourrait pas arriver à plat : le terme $C{\mathrm{e}}^{\kappa x}$ est nécessaire, il devient aussi grand que l'autre à la sortie, et c'est lui qui « recourbe » la densité pour la raccorder à une onde qui ne fait que s'éloigner.

Ce que l'exercice installe. Lire un graphe de densité de présence comme un enregistrement : l'interfrange donne $k$ donc $E$, le rapport du maximum au minimum donne $|r|$, la décroissance des plateaux avec $a$ donne $\kappa$ donc la hauteur de la barrière. Et un réflexe de mesure : une loi asymptotique ($\kappa a\gg 1$) se vérifie et s'exploite dans son domaine, ce que l'on contrôle a posteriori en recalculant $\kappa a$.