Profondeur de pénétration : électron et proton

Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel · niveau 2

Énoncé

Un électron, puis un proton, abordent une marche telle que $V_{0} - E = 1 e V$ . Calculer pour chacun la longueur d'atténuation de l'amplitude $1/ κ$ et la profondeur de pénétration $δ = 1/ (2 κ)$ . Reprendre pour l'électron avec $V_{0} - E = 0, 1 e V$ et $5 e V$ (valeurs de la capacité numérique du cours). Commenter.

Corrigé

Pour l'électron, $κ = \frac{2 m _{e} ( V _{0} - E )}{ℏ} = \frac{2 \times 9 , 11 \cdot 1 0 ^{- 31} \times 1 , 602 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 055 \cdot 1 0 ^{- 34}} = 5, 12 \cdot 1 0^{9} m^{- 1}$ , donc $1/ κ = 0, 195 nm$ et $δ = 0, 098 nm$ : de l'ordre d'un rayon atomique. Pour le proton, $κ$ est multiplié par $m_{p} / m_{e} = 42, 8$ : $1/ κ = 4, 6 p m$ , $δ = 2, 3 p m$ , cinquante fois moins, une petite fraction de la taille d'un atome. Comme $δ \propto (V_{0} - E)^{- 1/2}$ , pour l'électron $δ = 0, 31 nm$ à $0, 1 e V$ et $0, 044 nm$ à $5 e V$ . Pour quelques électronvolts de déficit, un électron pénètre d'environ un angström dans la région interdite : c'est l'échelle des distances interatomiques, ce qui rend l'effet tunnel des électrons omniprésent en physique de la matière. Le proton, cinquante fois moins, ne franchit par effet tunnel que des distances de quelques picomètres.