physique quantique (MP) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Radioactivité $α$ : la loi de Geiger-Nuttall avec le facteur de Gamow fourni

Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel · niveau 2

Énoncé

(MP) Une particule $α$ (masse $m_{α}$ , $m_{α} c^{2} = 3727 M e V$ , charge $2 e$ ) d'énergie $E$ est piégée dans un noyau de rayon $R$ ; à l'extérieur, le noyau fils, de charge $Z e$ , la repousse : $V (r) = \frac{2 Z e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ pour $r > R$ . On fournit le coefficient de transmission de cette barrière coulombienne, $T = e^{- G}$ , avec le facteur de Gamow

$G = 2 k r_{1} [arccos \frac{R}{r _{1}} - \frac{R}{r _{1}} (1 - \frac{R}{r _{1}})], k = \frac{2 m _{α} E}{ℏ},$

où $r_{1}$ est le point où $V (r_{1}) = E$ . La particule fait des allers-retours dans le noyau à la vitesse $v = 2 E / m_{α}$ et se présente devant la barrière $v / (2 R)$ fois par seconde ; la constante radioactive vaut $λ = \frac{v}{2 R} T$ et la demi-vie $t_{1/2} = ln 2/ λ$ . Données : $\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0}} = 1, 44 M e V . f m$ , $ℏ c = 197, 3 M e V . f m$ , $R = 1, 2 (A_{fils}^{1/3} + 4^{1/3}) f m$ . a) Uranium 238 : $E = 4, 20 M e V$ , $Z = 90$ , $A_{fils} = 234$ . Calculer $r_{1}$ , $R$ , la hauteur de la barrière en $R$ , $G$ et $t_{1/2}$ (mesurée : $1, 41 \times 1 0^{17} s$ ). b) Polonium 212 : $E = 8, 79 M e V$ , $Z = 82$ , $A_{fils} = 208$ (mesurée : $2, 99 \times 1 0^{- 7} s$ ). c) On admet que, pour $R ≪ r_{1}$ , $G \approx π k r_{1} - 4 k^{2} R r_{1}$ . Montrer que $ln t_{1/2}$ est une fonction affine de $Z / E$ (loi de Geiger-Nuttall). Pourquoi une barrière rectangulaire de largeur fixe ne la redonne-t-elle pas ?

Corrigé

a) Le point de sortie vérifie $V (r_{1}) = E$ :

$r_{1} = \frac{2 Z e ^{2}}{4 π ε _{0} E} = \frac{2 \times 90 \times 1 , 44}{4 , 20} f m = 61, 7 f m, R = 1, 2 \times (6, 16 + 1, 59) f m = 9, 3 f m;$

au bord du noyau, $V (R) = \frac{2 \times 90 \times 1 , 44}{9 , 3} = 27, 9 M e V$ , près de sept fois $E$ : la particule est classiquement piégée. $k = 2 m_{α} c^{2} E / (ℏ c) = 2 \times 3727 \times 4, 20 /197, 3 f m^{- 1} = 0, 897 f m^{- 1}$ , $k r_{1} = 55, 3$ , $R / r_{1} = 0, 151$ :

$G = 2 \times 55, 3 \times [arccos (0, 388) - 0, 151 \times 0, 849] = 110, 7 \times (1, 172 - 0, 358) = 90, 1,$

donc $T = e^{- 90, 1} = 7 \cdot 1 0^{- 40}$ . $v = c 2 \times 4, 20/3727 = 1, 42 \times 1 0^{7} m / s$ , $\frac{v}{2 R} = 7, 7 \times 1 0^{20} s^{- 1}$ : $λ = 5, 5 \cdot 1 0^{- 19} s^{- 1}$ et $t_{1/2} = 1, 3 \times 1 0^{18} s$ , soit $4 \cdot 1 0^{10}$ ans, contre $4, 5 \cdot 1 0^{9}$ ans mesurés. b) $r_{1} = 26, 9 f m$ , $R = 9, 0 f m$ , $k = 1, 297 f m^{- 1}$ , $G = 33, 5$ , $\frac{v}{2 R} = 1, 14 \times 1 0^{21} s^{- 1}$ : $t_{1/2} = 2, 2 \times 1 0^{- 7} s$ , contre $3, 0 \times 1 0^{- 7} s$ . Un facteur $2$ en énergie fait passer de $0, 2 μ s$ à quarante milliards d'années : $24, 8$ décades calculées, $23, 7$ mesurées. L'accord à un facteur dix près sur un tel écart est le succès de Gamow (1928) : tout est dans l'exposant. c) $k r_{1} = \frac{2 m _{α} E}{ℏ} \cdot \frac{2 Z e ^{2}}{4 π ε _{0} E} = \frac{2 e ^{2} 2 m _{α}}{4 π ε _{0} ℏ} \frac{Z}{E}$ , tandis que $k^{2} r_{1} = \frac{2 m _{α} E}{ℏ ^{2}} \cdot \frac{2 Z e ^{2}}{4 π ε _{0} E}$ ne dépend pas de $E$ . Donc $G \approx α_{0} \frac{Z}{E} - β_{0} Z R$ , et $ln t_{1/2} = ln \frac{2 R ln 2}{v} + G$ : à $Z$ et $R$ voisins (le terme en $ln v$ varie peu), $ln t_{1/2}$ est affine en $Z / E$ . C'est la loi de Geiger-Nuttall. Le point essentiel est que la largeur de la barrière, $r_{1} - R$ , dépend de l'énergie ( $r_{1} \propto 1/ E$ ) : une particule plus énergétique voit une barrière à la fois plus basse et beaucoup plus mince. Une barrière rectangulaire de largeur fixe ne garde que la dépendance en hauteur, en $V_{0} - E$ , et ne reproduit pas la loi.

Le dessin est à l'échelle (une unité pour $10 f m$ et pour $10 M e V$ ), sauf la profondeur du puits nucléaire : la zone hachurée, interdite, est six fois plus large que le noyau.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

14 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 7 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →

Radioactivité α : la loi de Geiger-Nuttall avec le facteur de Gamow fourni

Énoncé

Corrigé

Radioactivité $α$ : la loi de Geiger-Nuttall avec le facteur de Gamow fourni