Concevoir un détecteur infrarouge à puits quantique

La stratégie. C'est un problème de dimensionnement : on part de la grandeur imposée, la longueur d'onde, on remonte à l'écart d'énergie par Planck-Einstein, puis à la largeur par la formule du puits. On critique ensuite le modèle : parois finies, agitation thermique.

1) L'épaisseur. L'énergie du photon vaut $hc/\lambda =1240\mathrm{eV}\mathrm{nm}/8000\mathrm{nm}=0,155\mathrm{eV}$. La transition $1\to 2$ demande $E_2-E_1=3E_1$ ; donc $E_1=hc/(3\lambda )=51,7\mathrm{meV}$ et $$L=\frac{h}{\sqrt{8m^{\ast }{E}_1}}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{\sqrt{8\times 0,067\times 9,109\times 10^{-31}\times 51,7\times 10^{-3}\times 1,602\times 10^{-19}}}=1,04\times 10^{-8}\mathrm{m}=10,4\mathrm{nm}.$$ Avec la masse $m_e$, il faudrait $L\sqrt{0,067}=2,7\mathrm{nm}$. La masse effective, quinze fois plus petite, rend l'électron « plus quantique » : à énergie fixée, le puits peut être $\sqrt{15}\approx 3,9$ fois plus large. Une dizaine de nanomètres, une quarantaine de couches atomiques, c'est ce que l'épitaxie sait déposer couche par couche.

2) Le niveau excité. $E_2=4E_1=207\mathrm{meV}$, juste sous $V_0=250\mathrm{meV}$. L'électron excité n'est lié que de $43\mathrm{meV}$ : une petite tension appliquée au composant suffit à l'extraire et à le collecter. Plus bas, il resterait piégé et retomberait au niveau $1$ sans donner de courant ; au-dessus de $V_0$, il n'y aurait plus de niveau $2$ lié pour concentrer l'absorption.

3) Les parois finies. Pour le niveau $1$, $V_0-E_1=198\mathrm{meV}$ et $$\frac{1}{{\kappa }_1}=\frac{\hslash }{\sqrt{2m^{\ast }(V_0-E_1)}}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 0,067\times 9,109\times 10^{-31}\times 198\times 10^{-3}\times 1,602\times 10^{-19}}}=1,7\mathrm{nm};$$ pour le niveau $2$, $V_0-E_2=43\mathrm{meV}$ et $1/{\kappa }_2=3,6\mathrm{nm}$. La densité de présence, en ${\mathrm{e}}^{-2\kappa |x|}$, décroît dans chaque barrière sur la longueur $1/(2\kappa )$, soit $0,85\mathrm{nm}$ et $1,8\mathrm{nm}$ : ce n'est pas négligeable devant $L=10,4\mathrm{nm}$. L'électron dispose en fait d'une largeur effective plus grande que $L$, d'autant plus grande que le niveau est haut ; les vrais niveaux sont plus bas que ceux du puits infini, $E_2$ davantage que $E_1$, et l'écart $E_2-E_1$ est plus petit : la couche de $10,4\mathrm{nm}$ détecterait au-delà de $8\mu \mathrm{m}$. Pour revenir à $8\mu \mathrm{m}$, il faut un puits plus étroit. (Un calcul complet du puits fini, non demandé ici, donne avec ces données environ $14\mu \mathrm{m}$ pour la couche de $10,4\mathrm{nm}$, et une épaisseur d'environ $6\mathrm{nm}$ pour détecter à $8\mu \mathrm{m}$, le niveau $2$ se trouvant alors à $30\mathrm{meV}$ du haut de la barrière.) Le modèle infini donne le bon ordre de grandeur et le bon sens de variation ; il ne suffit pas au dimensionnement final, parce que $V_0$ n'est que cinq fois $E_1$.

4) Ingénierie de la longueur d'onde. $E_1\propto 1/L^2$ : doubler $L$ divise toutes les énergies par $4$, donc $E_2-E_1$ aussi, et multiplie par 4 la longueur d'onde détectée (dans le modèle infini). La couleur du détecteur se choisit par l'épaisseur d'une couche, et non par la nature d'un matériau : c'est l'intérêt technique des puits quantiques, qui en font aussi des lasers et des diodes.

5) L'agitation thermique. Pour quitter le puits, l'électron du niveau $1$ doit recevoir environ $V_0-E_1\approx 0,20\mathrm{eV}$. À $300\mathrm{K}$, $k_{B}T=25,9\mathrm{meV}$, huit fois moins ; à $77\mathrm{K}$, $k_{B}T=6,6\mathrm{meV}$, trente fois moins. À température ambiante, l'agitation thermique fait sortir des électrons du puits sans aucun photon : c'est un courant parasite, le courant d'obscurité, qui noie le signal. Le refroidissement à l'azote liquide le réduit très fortement (on le constate expérimentalement ; sa loi exacte n'est pas l'objet de ce chapitre). Le même ordre de grandeur, $0,155\mathrm{eV}$ pour un photon à $8\mu \mathrm{m}$ contre $0,026\mathrm{eV}$ d'agitation à $300\mathrm{K}$, explique qu'un détecteur de rayonnement thermique doive être plus froid que la scène qu'il observe.

Ce que l'exercice installe. Dimensionner un puits quantique : $hc/\lambda =(n^{\prime 2}-n^2)E_1$, puis $L$ par la formule du puits, avec la masse effective fournie. Et la critique du modèle : la paroi finie laisse pénétrer l'onde évanescente, élargit le puits effectif et abaisse les niveaux, le plus haut davantage ; l'agitation thermique se compare aux énergies de confinement.