Les neutrons qui rebondissent : l'énergie de confinement dans le puits de la pesanteur

La stratégie. On ne résout pas l'équation de Schrödinger : on estime. Confiner le neutron sur une hauteur $a$ coûte une énergie cinétique qui croît quand $a$ diminue ; le monter à la hauteur $a$ coûte une énergie potentielle qui croît avec $a$. Le fondamental réalise le compromis. On compare ensuite à la valeur exacte fournie, puis aux cas limites où la réponse est connue.

1) La prévision classique. Un neutron d'énergie verticale $E$ monte jusqu'à $z_{\max }=E/(mg)$ et rebondit indéfiniment sur le miroir. Il passe sous l'absorbant si $z_{\max }<H$. Parmi des neutrons d'énergies verticales réparties continûment, il y en a toujours d'assez lents pour passer : classiquement, le flux détecté décroît continûment quand $H$ diminue, sans jamais s'annuler pour $H>0$. Le seuil observé vers $15\mu \mathrm{m}$ est une signature quantique : en dessous, aucun état du neutron ne tient dans la fente.

2) L'estimation. Si le neutron est confiné sur $\Delta z\sim a$, l'inégalité de Heisenberg impose une dispersion d'impulsion $\Delta p\gtrsim \hslash /a$ : sa quantité de mouvement verticale est au moins de l'ordre de $p\sim \hslash /a$, d'où une énergie cinétique de confinement ${\hslash }^2/(2m{a}^2)$. Son énergie potentielle, à l'échelle $a$, vaut $mga$. Donc $$E(a)\approx \frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}+mga,\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}a}=-\frac{{\hslash }^2}{m{a}^3}+mg=0⟺a^{\ast }={\left(\frac{{\hslash }^2}{m^{2}g}\right)}^{1/3}.$$ Au minimum, $\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^{\ast 2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\hslash }^2}{m{a}^{\ast 3}}{a}^{\ast }=\frac{1}{2}mg{a}^{\ast }$ : le terme cinétique vaut la moitié du terme potentiel, et $E(a^{\ast })=\frac{3}{2}mg{a}^{\ast }$. Numériquement, $$a^{\ast }={\left(\frac{(1,055\times 10^{-34}{)}^2}{(1,675\times 10^{-27}{)}^2\times 9,81}\right)}^{1/3}=7,39\mu \mathrm{m},$$ puis $E(a^{\ast })=\frac{3}{2}mg{a}^{\ast }=1,82\times 10^{-31}\mathrm{J}=1,14\times 10^{-12}\mathrm{eV}$. Une énergie de l'ordre du picoélectronvolt, sur une hauteur de quelques micromètres : le neutron est lourd, mais la pesanteur est un confinement extrêmement mou.

3) La valeur exacte et le seuil. $E_1=2,338{\left(\frac{m{g}^2{\hslash }^2}{2}\right)}^{1/3}=2,25\times 10^{-31}\mathrm{J}=1,41\mathrm{peV}$ : l'estimation en donne $81\%$, ce qui est excellent pour un argument d'ordre de grandeur. Un neutron classique d'énergie $E_1$ monterait jusqu'à $$z_1=\frac{E_1}{mg}=\frac{2,25\times 10^{-31}}{1,675\times 10^{-27}\times 9,81}=13,7\mu \mathrm{m},$$ avec une vitesse verticale au contact du miroir $v=\sqrt{2E_1/m}=1,6\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le fondamental occupe donc une hauteur d'une dizaine de micromètres, et sa densité de présence déborde un peu au-dessus de $z_1$ (onde évanescente, qualitativement). Une fente plus basse que cette extension ne peut contenir aucun état du neutron : il touche l'absorbant et disparaît. D'où le seuil vers $15\mu \mathrm{m}$, en accord avec $z_1$ et avec $a^{\ast }$ : c'est l'observation directe de l'énergie de confinement d'un état lié par la pesanteur.

4) Fréquences de transition. $E_2=2,46\mathrm{peV}$ et $E_3=3,33\mathrm{peV}$, d'où $${\nu }_{21}=\frac{E_2-E_1}{h}=255\mathrm{Hz},{\nu }_{31}=\frac{E_3-E_1}{h}=463\mathrm{Hz}.$$ Ce sont des fréquences acoustiques : on provoque les transitions en faisant vibrer mécaniquement le miroir, comme on ferait vibrer une membrane de haut-parleur. Les niveaux ne sont ni équidistants ni en $k^2$ : leur suite dépend de la forme du puits.

5) Cas limites. Pour $s=2$, $V=V_0{x}^2/b^2$ est le puits harmonique, où la méthode donne $\hslash \omega$ pour une valeur exacte $\hslash \omega /2$ (résultat admis) : facteur $2$. Quand $s\to \infty$, $(|x|/b{)}^s$ tend vers $0$ pour $|x|<b$ et vers $+\infty$ pour $|x|>b$ : on retrouve le puits infini de largeur $2b$. La méthode donne alors $E(a)={\hslash }^2/(2m{a}^2)$ pour $a<b$ et $+\infty$ au-delà : le minimum est atteint au bord, $a^{\ast }=b$, et vaut ${\hslash }^2/(2m{b}^2)$. La valeur exacte est $E_1={\pi }^2{\hslash }^2/(2m(2b{)}^2)={\pi }^2{\hslash }^2/(8m{b}^2)$ ; le rapport vaut $4/{\pi }^2=0,41$. Sur trois formes très différentes (pente linéaire, parabole, parois verticales), la méthode donne le fondamental à un facteur $2,5$ près au plus : ce qu'elle fixe, c'est la loi d'échelle ($a^{\ast }$ et $E$ en fonction de $m$, $\hslash$ et des paramètres du puits), pas le préfacteur.

Ce que l'exercice installe. La méthode de l'énergie de confinement pour un puits non rectangulaire : $E(a)\approx {\hslash }^2/(2m{a}^2)+V(a)$, minimisée en $a$ ; au minimum, énergie cinétique et énergie potentielle sont du même ordre. Elle s'associe à l'inégalité de Heisenberg, donne des lois d'échelle sûres et des préfacteurs approchés (de $0,4$ à $0,8$ ici, et un facteur $2$ pour le puits harmonique), et elle explique une expérience : des neutrons qui ne passent pas sous une fente de quelques micromètres.