Longueur d'onde d'une transition, et largeur pour émettre dans le visible

Puits de potentiel infini : états stationnaires et non stationnaires · niveau 2

Énoncé

Calculer la longueur d'onde du photon émis lors de la transition $n = 2 \to n = 1$ d'un électron dans un puits de largeur $L = 0, 5 nm$ .
Pour quelle largeur $L$ la même transition émet-elle dans le visible, à $λ = 500 nm$ ?

Corrigé

$E_{2} - E_{1} = (4 - 1) E_{1} = 3 E_{1}$ avec $E_{1} = h^{2} / (8 m_{e} L^{2})$ . Numériquement $E_{1} \approx 2, 4 \times 1 0^{- 19} J \approx 1, 5 eV$ , donc $E_{2} - E_{1} \approx 4, 5 eV$ . Par la relation de Planck-Einstein et la conservation de l'énergie, le photon émis a pour longueur d'onde

$λ = \frac{h c}{E _{2} - E _{1}} \approx \frac{1240 eV nm}{4 , 5 eV} \approx 275 nm (ultraviolet proche) .$

$λ = \frac{h c}{3 E _{1}} = \frac{8 m _{e} c L ^{2}}{3 h}$ , d'où

$L = \frac{3 hλ}{8 m _{e} c} = \frac{3 \times 6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 500 \times 1 0 ^{- 9}}{8 \times 9 , 1 \times 1 0 ^{- 31} \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}} \approx 0, 67 nm .$

Comme $λ \propto L^{2}$ , il suffit d'élargir le puits de $35 %$ pour passer de l'ultraviolet au vert : c'est le principe des boîtes quantiques des écrans, dont la couleur se règle par la taille.