Puits centré : parité des états stationnaires

En reportant $x=X+L/2$,

$${\phi }_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin (\frac{n\pi X}{L}+\frac{n\pi }{2}).$$

Pour $n$ impair, $\sin (u+n\pi /2)=\pm \cos u$ : ${\phi }_n=\pm \sqrt{2/L}\cos (n\pi X/L)$, fonction paire de $X$. Pour $n$ pair, $\sin (u+n\pi /2)=\pm \sin u$ : ${\phi }_n=\pm \sqrt{2/L}\sin (n\pi X/L)$, fonction impaire. Le signe $\pm$ est un facteur de phase global, sans conséquence physique. On vérifie directement que $\cos (n\pi X/L)$ ($n$ impair) et $\sin (n\pi X/L)$ ($n$ pair) s'annulent en $X=\pm L/2$ : les conditions aux limites sont les mêmes, donc aussi les niveaux $E_n=n^2{h}^2/(8m{L}^2)$. Changer d'origine ne change pas la physique ; le choix centré rend visible une symétrie du potentiel. Le fondamental est pair, sans nœud ; chaque niveau change de parité par rapport au précédent. Enfin, ${\phi }_p{\phi }_q$ est pair si $p$ et $q$ ont la même parité ($p+q$ pair), impair sinon : c'est la règle qui décide, au problème du TD, si une superposition fait basculer la particule d'un côté à l'autre du puits.