L'onde plane est solution de l'équation libre

Fonction d'onde et équation de Schrödinger · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que $ψ = A e^{i (k x - ω t)}$ est solution de l'équation de Schrödinger libre ( $V = 0$ ) et en déduire la relation entre $ω$ et $k$ . Pourquoi cette fonction n'est-elle pas normalisable ?

Corrigé

On a $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - iω ψ$ et $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = - k^{2} ψ$ . En reportant dans $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}}$ :

$i ℏ (- iω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}, soit E = \frac{p ^{2}}{2 m} .$

Comme $∣ ψ ∣^{2} = ∣ A ∣^{2}$ est constant sur $R$ , l'intégrale $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x$ diverge : l'onde plane pure n'est pas de carré sommable et ne décrit pas une particule localisée. Elle sert de brique élémentaire aux superpositions qui localisent la particule (chapitre sur la particule libre).