Séparer les variables : une énergie réelle, une seule pulsation

La stratégie. Une fonction de $t$ seul égale à une fonction de $x$ seul pour tous les couples $(x,t)$ est une constante : c'est tout le ressort de la séparation. La réalité de $E$ vient ensuite d'une exigence physique, la conservation de la probabilité. Pour montrer qu'une fonction n'est pas un produit, on cherche une propriété de tous les produits qu'elle n'a pas.

1) La séparation. On reporte $\psi =\phi f$ et on divise par $\phi (x)f(t)$ là où il ne s'annule pas : $$i\hslash \frac{f^{\prime }(t)}{f(t)}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\phi }^{\prime \prime }(x)}{\phi (x)}+V(x).$$ Le point délicat. Fixons $x_0$ tel que $\phi (x_0)\ne 0$ (il en existe, $\psi$ n'étant pas nulle) : pour tout $t$ où $f(t)\ne 0$, le premier membre égale le second évalué en $x_0$, un nombre $E$ indépendant de $t$. Symétriquement, à $t_0$ fixé avec $f(t_0)\ne 0$, le second membre vaut $E$ pour tout $x$ où $\phi (x)\ne 0$. D'où $$i\hslash f^{\prime }(t)=Ef(t)\text{et}-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\phi }^{\prime \prime }+V\phi =E\phi ,$$ la seconde s'étendant par continuité aux zéros isolés de $\phi$. Donc $f(t)=f(0){\mathrm{e}}^{-iEt/\hslash }$, et $\phi$ vérifie l'équation stationnaire. $E$ a la dimension de $\hslash f^{\prime }/f$, des $\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, et celle de $V$ : c'est une énergie.

2) Pourquoi $E$ est réelle. ${\mathrm{e}}^{-iEt/\hslash }={\mathrm{e}}^{-i{E}_{r}t/\hslash }{\mathrm{e}}^{-\Gamma t/2}$, donc $|\psi {|}^2=|\phi {|}^2|f(0){|}^2{\mathrm{e}}^{-\Gamma t}$ et, en intégrant, $P(t)=P(0){\mathrm{e}}^{-\Gamma t}$. Si $\Gamma >0$ la particule disparaîtrait, si $\Gamma <0$ la probabilité dépasserait $1$. Or l'équation de Schrödinger, avec $V$ réel, conserve la probabilité totale (résultat admis) : $\Gamma =0$, l'énergie d'un état stationnaire est réelle. Alors $f(t)=f(0){\mathrm{e}}^{-i\omega t}$ avec $$\omega =\frac{E}{\hslash }⟺E=\hslash \omega :$$ la relation de Planck-Einstein, retrouvée sur l'équation : l'énergie fixe la pulsation de la phase. Dans le plan complexe, $f(t)/f(0)$ parcourt le cercle unité dans le sens horaire ; une énergie complexe en ferait une spirale.

3) Même énergie : stationnaire. Chaque ${\phi }_j{\mathrm{e}}^{-iEt/\hslash }$ est solution (la question 1 lue à l'envers) ; par linéarité, $\psi$ aussi. Et $\psi$ est le produit de $\phi =\alpha {\phi }_a+\beta {\phi }_b$, solution de l'équation stationnaire (linéaire) avec la même $E$, par ${\mathrm{e}}^{-iEt/\hslash }$ : un état stationnaire d'énergie $E$. Exemple : pour une particule libre, ${\mathrm{e}}^{ikx}$ et ${\mathrm{e}}^{-ikx}$ ont la même énergie, et leur combinaison $\sin (kx)$ est l'état stationnaire de l'exercice suivant.

4) Énergies différentes : pas un produit. $\psi$ est solution par linéarité. Si l'on avait $\psi =g(x)h(t)$, le rapport $\psi (x_1,t)/\psi (x_2,t)=g(x_1)/g(x_2)$ serait indépendant du temps. Or, avec $\Omega =(E_2-E_1)/\hslash \ne 0$ et $z={\mathrm{e}}^{-i\Omega t}$, $$\frac{\psi (x_1,t)}{\psi (x_2,t)}=\frac{c_1{\phi }_1(x_1)+c_2{\phi }_2(x_1)z}{c_1{\phi }_1(x_2)+c_2{\phi }_2(x_2)z}.$$ Quand $z$ parcourt le cercle unité, ce quotient n'est constant que si numérateur et dénominateur sont proportionnels : ${\phi }_1(x_1){\phi }_2(x_2)={\phi }_2(x_1){\phi }_1(x_2)$. Si c'était vrai pour tous $x_1$, $x_2$, ${\phi }_2$ serait proportionnelle à ${\phi }_1$, donc solution avec la même énergie, ce qui contredit $E_1\ne E_2$. $\psi$ n'est pas un état stationnaire : sa densité contient un terme croisé qui dépend du temps (son évolution est étudiée au TD sur le puits infini). Un état stationnaire n'a qu'une énergie, donc qu'une pulsation.

5) L'état excité du sodium. La probabilité d'être excité est en ${\mathrm{e}}^{-\Gamma t}$ : $\Gamma =1/\tau =6,3\times 10^7{\mathrm{s}}^{-1}$. Elle ne « disparaît » pas : elle passe dans le fondamental, accompagné d'un photon, que le modèle ne décrit pas. Et $$\hslash \Gamma =\frac{1,055\times 10^{-34}}{16\times 10^{-9}}=6,6\times 10^{-27}\mathrm{J}=4,1\times 10^{-8}\mathrm{eV},$$ cinquante millions de fois moins que l'énergie d'excitation. Sur toute durée très inférieure à $16\mathrm{ns}$, l'état excité se comporte comme un état stationnaire, et toute la spectroscopie le traite ainsi. Le cas limite $\tau \to \infty$, $\Gamma \to 0$, redonne l'état stationnaire exact.

Ce que l'exercice installe. La séparation des variables conduite avec soin ; la réalité de l'énergie tirée de la conservation de la probabilité ; Planck-Einstein, $E=\hslash \omega$, lu sur la phase de $\psi$. Et le critère : un état stationnaire n'a qu'une énergie ; une superposition d'états de même énergie reste stationnaire, une superposition d'énergies différentes est solution sans être stationnaire.