Vérification d'un état stationnaire, et conservation de la norme

Fonction d'onde et équation de Schrödinger · niveau 2

Énoncé

On donne $ψ (x, t) = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ avec $φ$ réelle et $E$ réelle. Vérifier que la densité de présence est indépendante du temps, et retrouver l'équation stationnaire à partir de l'équation complète (potentiel $V (x)$ ). Si $ψ$ est normalisée à $t = 0$ , l'est-elle à tout instant ?
(Complément.) On considère $ψ = \frac{1}{2} (φ_{1} e^{- i E_{1} t /ℏ} + φ_{2} e^{- i E_{2} t /ℏ})$ , où $φ_{1}$ et $φ_{2}$ sont réelles, normalisées et orthogonales ( $\int_{R} φ_{1} φ_{2} d x = 0$ ). Montrer que $ψ$ reste normalisée à tout instant.

Corrigé

$∣ ψ ∣^{2} = φ (x)^{2} e^{- i E t /ℏ}^{2} = φ (x)^{2}$ : indépendant de $t$ ; en particulier $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x$ ne dépend pas du temps, et la norme reste égale à $1$ . Ensuite $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = i ℏ (- i E /ℏ) φ e^{- i E t /ℏ} = E ψ$ , tandis que le second membre vaut $(- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ) e^{- i E t /ℏ}$ . En simplifiant par $e^{- i E t /ℏ}$ : $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} + V φ = E φ$ , l'équation de Schrödinger stationnaire.

$∣ ψ ∣^{2} = \frac{1}{2} (φ_{1}^{2} + φ_{2}^{2} + 2 φ_{1} φ_{2} cos (ω_{21} t))$ avec $ω_{21} = (E_{2} - E_{1}) /ℏ$ ; en intégrant, $\int_{R} ∣ ψ ∣^{2} d x = \frac{1}{2} (1 + 1 + 2 cos (ω_{21} t) \times 0) = 1$ à tout instant : la densité dépend du temps, mais pas la probabilité totale.

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