Complément : paquet à deux ondes et vitesse de l'enveloppe

Particule libre · niveau 2

Énoncé

Complément hors programme. On superpose deux ondes planes de même amplitude, de vecteurs d'onde $k_{0} \pm δ k$ et de pulsations $ω_{\pm} = ω (k_{0} \pm δ k)$ , avec $ω (k) = ℏ k^{2} /2 m$ . Écrire la fonction d'onde sous la forme porteuse $\times$ enveloppe et en déduire la vitesse de l'enveloppe.

Corrigé

Posons $ω ˉ = (ω_{+} + ω_{-}) /2$ et $δ ω = (ω_{+} - ω_{-}) /2$ . En factorisant :

$ψ = A e^{i [(k_{0} + δ k) x - ω_{+} t]} + A e^{i [(k_{0} - δ k) x - ω_{-} t]} = 2 A porteuse e^{i (k_{0} x - ω ˉ t)} enveloppe cos (δ k x - δ ω t) .$

L'enveloppe se déplace à la vitesse pour laquelle $δ k x - δ ω t$ reste constant, $v_{env} = δ ω / δ k$ . Ici $δ ω = \frac{ℏ}{4 m} [(k_{0} + δ k)^{2} - (k_{0} - δ k)^{2}] = \frac{ℏ k _{0} δ k}{m}$ , d'où $v_{env} = \frac{ℏ k _{0}}{m}$ , exactement la vitesse de groupe $d ω / d k$ en $k_{0}$ (pour une dispersion quadratique, le taux d'accroissement symétrique est égal à la dérivée). La porteuse avance à $ω ˉ / k_{0}$ , voisine de $v_{φ} = v_{g} /2$ . Mais deux ondes ne localisent pas : l'enveloppe est périodique, de période $π / δ k$ . Le paquet continu généralise ce battement à une infinité de composantes.