Particule libre

Cours · physique quantique (MPI), chapitre 2 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le chapitre précédent a posé les fondements de la mécanique ondulatoire : la fonction d'onde $ψ (x, t)$ d'une particule, sa densité de probabilité de présence \abs{\psi}^2 et l'équation de Schrödinger qui gouverne son évolution. Nous appliquons maintenant ce formalisme au cas le plus simple qui soit : celui d'une particule qui ne subit aucune force, c'est-à-dire dont l'énergie potentielle est uniforme. On parle de particule libre. Ce cas d'école, en apparence trivial, révèle deux traits profondément quantiques : d'une part la nature ondulatoire pure du mouvement, décrite par une onde plane dont la relation de dispersion encode la relation de de Broglie ; d'autre part l'impossibilité de localiser strictement une particule d'impulsion connue, qui impose de superposer des ondes planes en un paquet d'ondes. On introduira enfin, en complément hors programme MPI, la densité de courant de probabilité, qui traduit le transport de la probabilité de présence et permet d'analyser réflexion et transmission sur une marche de potentiel.

2.1 L'onde plane, solution de la particule libre

2.1.1 Position du problème

Une particule est dite libre lorsque son énergie potentielle est constante dans tout l'espace. On peut alors, sans perte de généralité, choisir l'origine des énergies de sorte que $V (x) = 0$ . La particule ne subit aucune force ( $F = - d V / d x = 0$ ) : classiquement, elle se déplacerait en ligne droite à vitesse constante. Voyons ce que prédit la mécanique quantique.

Définition 2.1Particule libre

Une particule est libre si son énergie potentielle est uniforme. En prenant l'origine des énergies telle que $V (x) = 0$ , l'équation de Schrödinger à une dimension s'écrit

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (x, t) = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} (x, t) .$

iRemarque

Le seul terme au second membre est le terme d'énergie cinétique, identifié au chapitre précédent : $- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}}$ est l'opérateur associé à \Ec = p^2/2m via la correspondance $p \leftrightarrow - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ . La particule libre est donc de l'énergie cinétique pure sous forme ondulatoire.

2.1.2 Recherche des états stationnaires

Cherchons d'abord les états stationnaires, de la forme \psi(x,t)=\varphi(x)\,\e^{-\mathrm{i} E t/\hbar}. La partie spatiale $φ$ vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} φ^{''} (x) = E φ (x) ⟺ φ^{''} (x) + k^{2} φ (x) = 0, k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ ^{2}} .$

Pour $E > 0$ (seul cas physiquement acceptable pour une particule libre, comme on le justifiera), $k$ est réel et les solutions sont des exponentielles complexes \varphi(x)=A\,\e^{\mathrm{i} kx}+B\,\e^{-\mathrm{i} kx}. En rétablissant le facteur temporel, on obtient les ondes planes

\psi_+(x,t)=A\,\e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} \qquad\text{et}\qquad \psi_-(x,t)=B\,\e^{-\mathrm{i}(kx+\omega t)}, \qquad \omega = \frac{E}{\hbar}.

◆Théorème 2.2Ondes planes de la particule libre

Les états stationnaires d'énergie $E > 0$ d'une particule libre sont les combinaisons linéaires des deux ondes planes progressives

\boxed{\;\psi(x,t)=A\,\e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}+B\,\e^{-\mathrm{i}(kx+\omega t)}\;}

où $A$ et $B$ sont des amplitudes complexes constantes, $k > 0$ le vecteur d'onde et $ω = E /ℏ$ la pulsation. L'onde \e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} se propage vers les $x > 0$ , l'onde \e^{-\mathrm{i}(kx+\omega t)}=\e^{\mathrm{i}(-kx-\omega t)} vers les $x < 0$ ; chacune, prise seule ( $B = 0$ ou $A = 0$ ), est un état stationnaire progressif. Toute combinaison des deux, de même énergie $E$ , est encore un état stationnaire : par exemple $A = B$ donne \psi=2A\cos(kx)\,\e^{-\mathrm{i}\omega t}.

AttentionOnde quantique

\neq =

onde stationnaire classique

Malgré le nom d'« état stationnaire », l'onde plane \psi=A\,\e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} est une onde progressive : sa phase se déplace. Le qualificatif « stationnaire » signifie seulement que la densité de probabilité \abs{\psi}^2 est indépendante du temps, non que l'onde est immobile. Inversement, la combinaison \psi=2A\cos(kx)\,\e^{-\mathrm{i}\omega t} ( $A = B$ ) est elle aussi un état stationnaire de la particule libre, d'énergie $E$ : sa densité 4\abs{A}^2\cos^2(kx) s'annule en des points fixes, comme les nœuds d'une onde stationnaire. Elle n'est pas pour autant une onde stationnaire au sens de la physique des ondes, de la forme $cos (k x) cos (ω t)$ : sa dépendance temporelle n'est qu'une phase globale \e^{-\mathrm{i}\omega t}, et \abs{\psi}^2 ne dépend pas du temps.

2.2 Relation de dispersion et relation de de Broglie

2.2.1 La relation de dispersion quantique

Reportons l'onde plane \psi=A\,\e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} dans l'équation de Schrödinger. Les dérivations donnent $\frac{\partial ψ}{\partial t} = - i ω ψ$ et $\frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} = - k^{2} ψ$ , d'où

$i ℏ (- i ω) ψ = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} (- k^{2}) ψ ⟹ ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} .$

◆Théorème 2.3Relation de dispersion de la particule libre

Une onde plane \e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} est solution de l'équation de Schrödinger de la particule libre si et seulement si sa pulsation et son vecteur d'onde vérifient la relation de dispersion

$ω (k) = \frac{ℏ k ^{2}}{2 m} soit, en e ˊ nergie, E = ℏ ω = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m} .$

AttentionDispersion quadratique, non linéaire

Contrairement aux ondes électromagnétiques dans le vide ( $ω = c k$ , dispersion linéaire), la relation de dispersion quantique est quadratique en $k$ . Le milieu « vide quantique » est donc dispersif : des ondes de $k$ différents se propagent à des vitesses de phase différentes. C'est la clef de l'étalement du paquet d'ondes (§ sec:paquet).

2.2.2 Lien avec la relation de de Broglie

L'énergie cinétique classique d'une particule d'impulsion $p$ est $E = p^{2} /2 m$ . En comparant avec $E = ℏ^{2} k^{2} /2 m$ , on identifie $p = ℏ k$ : c'est la relation de de Broglie.

Proposition 2.4Relation de de Broglie

Le vecteur d'onde de l'onde plane associée à la particule est relié à son impulsion par

$p = ℏ k soit, avec k = \frac{2 π}{λ}, λ = \frac{h}{p} .$

La longueur d'onde $λ$ est la longueur d'onde de de Broglie. La relation de dispersion quantique n'est autre que la relation $E = p^{2} /2 m$ traduite en variables ondulatoires $(ω, k)$ .

iRemarque

On retrouve ainsi, de manière cohérente, les deux relations fondamentales de la dualité onde-particule : $E = ℏ ω$ (Planck-Einstein) et $p = ℏ k$ (de Broglie). L'onde plane \e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)} décrit une particule d'impulsion $p = ℏ k$ et d'énergie $E = ℏ ω$ parfaitement déterminées.

Exemple 2.5Longueur d'onde d'un électron

Un électron ( $m = 9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ ) est accéléré sous une tension $U = 100 V$ , ce qui lui confère l'énergie cinétique $E = e U$ . Calculer sa longueur d'onde de de Broglie. Comparer à celle d'une balle de $20 g$ lancée à $30 m / s$ .

Démonstration

L'impulsion se déduit de $E = p^{2} /2 m$ , soit $p = 2 m E$ . Avec $E = e U = 1, 6 \times 1 0^{- 17} J$ :

$p = 2 \times 9, 11 \times 1 0^{- 31} \times 1, 6 \times 1 0^{- 17} \approx 5, 4 \times 1 0^{- 24} kgm / s,$

$λ = \frac{h}{p} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34}}{5 , 4 \times 1 0 ^{- 24}} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 10} m .$

Soit $λ \approx 0, 12 nm$ , comparable aux distances interatomiques : c'est pourquoi les électrons diffractent sur les cristaux (expérience de Davisson et Germer). Pour la balle : $p = 0, 02 \times 30 = 0, 6 kgm / s$ et $λ = 6, 63 \times 1 0^{- 34} /0, 6 \approx 1 \times 1 0^{- 33} m$ , inférieure de vingt ordres de grandeur à toute taille observable : la balle est parfaitement « classique ».

2.3 Le problème de la normalisation

2.3.1 Une onde non localisée

L'onde plane possède une densité de probabilité de présence

\abs{\psi(x,t)}^2 = \abs{A}^2\,\bigl|\e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}\bigr|^2 = \abs{A}^2,

uniforme dans tout l'espace et constante dans le temps. La particule a la même probabilité de se trouver en tout point : elle est complètement délocalisée.

ImportantNon-normalisabilité de l'onde plane

La condition de normalisation exige \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\abs{\psi}^2\,\dd x = 1. Or pour l'onde plane,

\int_{-\infty}^{+\infty}\abs{A}^2\,\dd x = \abs{A}^2\times(+\infty) = +\infty.

L'intégrale diverge : l'onde plane n'est pas normalisable. Elle ne peut donc pas, strictement, représenter une particule physique réelle.

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