Davisson et Germer : la longueur d'onde de de Broglie mesurée

La stratégie. On prévoit $\lambda$ par de Broglie, on la mesure par une condition d'interférences établie sur la géométrie du cristal (un réseau de diffuseurs éclairés en phase), et l'on compare.

1) La prévision. $eU=54\mathrm{eV}$ est dix mille fois plus petit que $m_e{c}^2=511\mathrm{keV}$ : non relativiste, $E_c=p^2/2m_e$, et $${\lambda }_{\text{th}}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eU}}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9,109\times 10^{-31}\times 54\times 1,602\times 10^{-19}}}=0,1669\mathrm{nm},$$ de l'ordre de la distance entre rangées : on attend une figure de diffraction.

2) La différence de marche, établie. En incidence normale, les surfaces d'onde incidentes sont parallèles à la surface : toutes les rangées sont atteintes en phase. Pour deux rangées voisines $A$ et $B$ et un détecteur lointain (rayons diffusés parallèles), projetons $A$ en $H$ sur le rayon issu de $B$ : au-delà de $A$ et de $H$, les chemins sont égaux, et la différence de marche vaut $BH=d\sin \phi$.

Les ondes de toutes les rangées sont en phase si $d\sin \phi =m\lambda$, $m\in \mathbb{Z}$. Le détecteur compte des électrons un par un : le nombre de coups dans une direction, rapporté au nombre d'électrons envoyés, mesure la probabilité d'y arriver, proportionnelle à $|\psi {|}^2$. Chaque électron interfère avec lui-même.

3) La mesure. Pour $m=1$ : ${\lambda }_{\text{mes}}=d\sin 50^{\circ }=0,215\times 0,766=0,1647\mathrm{nm}$, à $1,3\%$ de la prévision. Inversement, $\sin \phi ={\lambda }_{\text{th}}/d=0,776$ donne $\phi =50,9^{\circ }$, à moins d'un degré de la mesure, compte tenu de la largeur du pic observé. La relation $\lambda =h/p$ est vérifiée.

4) Un seul ordre. $m=2$ exigerait $\sin \phi =2\lambda /d=1,55>1$. Restent $m=0$ (le faisceau renvoyé selon la normale) et $m=\pm 1$ ($\phi =\pm 50,9^{\circ }$).

5) Le seuil, et pourquoi des électrons lents. Le premier ordre existe tant que $\lambda \le d$, soit $$E\ge E_s=\frac{h^2}{2m_e{d}^2}=\frac{(6,626\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 9,109\times 10^{-31}\times (0,215\times 10^{-9}{)}^2}=5,21\times 10^{-18}\mathrm{J}=32,5\mathrm{eV}.$$ En dessous, le cristal ne renvoie que le faisceau normal, comme un miroir. À $54\mathrm{keV}$, $\lambda =5,28\mathrm{pm}$ ($5,14\mathrm{pm}$ en relativiste) et $\phi =1,4^{\circ }$ : le faisceau diffracté se confond presque avec le faisceau renvoyé, et des électrons aussi rapides traversent le cristal au lieu d'en sonder la surface. En résumé, $\sin {\phi }_1=\sqrt{E_s/E}$ : l'angle se referme quand l'énergie croît.

6) Même longueur d'onde, autres sondes. Pour $\lambda =0,1669\mathrm{nm}$ : un neutron doit avoir $E=\frac{h^2}{2m_n{\lambda }^2}=4,70\times 10^{-21}\mathrm{J}=29\mathrm{meV}$ (un neutron « thermique »), un photon $E=\frac{hc}{\lambda }=1,19\times 10^{-15}\mathrm{J}=7,4\mathrm{keV}$ (rayons X). À $\lambda$ égale, l'énergie d'une particule massive varie comme $1/m$ (dispersion quadratique), celle du photon comme $1/\lambda$ seulement (dispersion linéaire). Les trois sondes voient les mêmes distances, mais l'électron lent ne pénètre que de quelques couches : il sonde la surface, rayons X et neutrons le volume.

Ce que l'exercice installe. De Broglie se vérifie par une condition d'interférences établie sur la géométrie ($d\sin \phi =m\lambda$) ; le nombre de coups mesure une probabilité. Le seuil $\lambda \le d$ et la fermeture de l'angle aux grandes énergies fixent l'énergie utile d'une sonde ; électron, neutron et photon de même $\lambda$ diffèrent par leur relation $E(\lambda )$.