La fente qui localise : diffraction et inégalité de Heisenberg

La stratégie. La fente prépare un état localisé dans la direction transverse ; l'inégalité de Heisenberg en dit le prix : une dispersion de l'impulsion transverse, donc une ouverture. On la compare à la diffraction, puis on cherche le meilleur compromis entre largeur géométrique et élargissement.

1) Des neutrons lents. $v=\frac{h}{m_n\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}}{1,675\times 10^{-27}\times 2,0\times 10^{-9}}=198\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $E_c=\frac{1}{2}{m}_n{v}^2=3,28\times 10^{-23}\mathrm{J}=0,20\mathrm{meV}$, cent fois moins que $k_{B}T\approx 25\mathrm{meV}$ à l'ambiante : ces neutrons ont été ralentis par un modérateur refroidi.

2) Localiser coûte de l'impulsion. Avant la fente, l'onde ne dépend pas de $x$ : $p_x=0$ exactement ($\Delta p_x=0$) et $|\psi {|}^2$ est uniforme selon $x$ ($\Delta x$ infinie). Juste après, $\Delta x\approx a$. L'inégalité de Heisenberg en ordre de grandeur, $\Delta x\Delta p_x\sim h$, impose $\Delta p_x\sim h/a$. La norme de l'impulsion ne change pas (énergie conservée, $\Delta p_x\ll p$) : $p=h/\lambda$, et $$\theta \approx \frac{\Delta p_x}{p}=\frac{h/a}{h/\lambda }=\frac{\lambda }{a}=\frac{2,0\times 10^{-9}}{100\times 10^{-6}}=2,0\times 10^{-5}\mathrm{rad}.$$ C'est exactement l'angle du premier zéro de diffraction par une fente, $\sin \theta =\lambda /a$ : les deux descriptions coïncident. En ondes planes : limitée à une largeur $a$, l'onde n'est plus une onde plane unique, mais une superposition d'ondes planes ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(k_{x}x+k_{z}z)}$ dont les $k_x$ s'étalent sur $\sim 2\pi /a$, donc dont les directions s'étalent sur $\theta \approx \lambda /a$. Localiser selon $x$, c'est superposer des impulsions transverses différentes. (Le coefficient, $h$ plutôt que $\hslash$, tient à la largeur choisie, au premier zéro : le problème y revient.)

3) L'élargissement. $D\theta \approx \frac{D\lambda }{a}=5,0\times 2,0\times 10^{-5}=1,0\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,10\mathrm{mm}$, du même ordre que la fente elle-même : à cette distance les deux effets sont comparables, et ces valeurs sont des ordres de grandeur.

4) Le compromis. Le faisceau sort avec la largeur $a$ et chaque bord s'ouvre de $\theta \approx \lambda /a$ : $W\approx a+2D\theta =a+\frac{2D\lambda }{a}$. La dérivée $1-\frac{2D\lambda }{a^2}$ s'annule pour $$a^{\ast }=\sqrt{2\lambda D}=\sqrt{2\times 2,0\times 10^{-9}\times 5,0}=141\mu \mathrm{m},W_{\min }=2a^{\ast }=283\mu \mathrm{m}.$$ Pour $a=100\mu \mathrm{m}$, $W\approx 300\mu \mathrm{m}$ ; pour $a=20\mu \mathrm{m}$, $W\approx 1,0\mathrm{mm}$ : rétrécir la fente élargit le faisceau. Le produit des deux termes vaut $2D\lambda$, indépendant de $a$ : on ne peut pas les rendre petits ensemble. C'est Heisenberg à l'œuvre.

5) Cas limites. $a\to 0$ : $\theta \to \infty$, la fente devient une source quasi ponctuelle. $a\to \infty$ : $\theta \to 0$, propagation rectiligne, trajectoires classiques. Tube cathodique : $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eU}}=8,7\mathrm{pm}$ (correction relativiste de 1 %) et $\frac{D\lambda }{a}=\frac{0,30\times 8,7\times 10^{-12}}{50\times 10^{-6}}=52\mathrm{nm}$, six mille fois moins qu'un pixel : les trajectoires classiques suffisent, c'est pourquoi l'optique électronique raisonne sur des trajectoires. Balle de tennis : $\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{0,060\times 30}=3,7\times 10^{-34}\mathrm{m}$, $\theta \approx 4\times 10^{-34}\mathrm{rad}$ : aucun sens physique.

Ce que l'exercice installe. Localiser, c'est superposer : une particule limitée à une largeur $a$ est une superposition d'ondes planes d'impulsions transverses dispersées sur $\Delta p_x\sim h/a$, d'où l'ouverture $\theta \approx \lambda /a$ de la diffraction. Le compromis entre largeur géométrique et élargissement fixe la meilleure collimation, $W_{\min }=2\sqrt{2\lambda D}$. Critère de classicité : l'élargissement $D\lambda /a$ comparé à la résolution de l'observation.