Un électron « monochromatique » n'existe pas : longueur de cohérence d'un faisceau

La stratégie. La relation de dispersion convertit une dispersion en énergie en une dispersion en vecteur d'onde ; la synthèse spectrale convertit celle-ci en une étendue spatiale. C'est la localisation par superposition, le long du faisceau.

1) L'onde moyenne. $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_{e}E}}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9,109\times 10^{-31}\times 100\times 1,602\times 10^{-19}}}=0,123\mathrm{nm}$, $k=\frac{2\pi }{\lambda }=5,12\times 10^{10}{\mathrm{m}}^{-1}$.

2) De l'énergie au vecteur d'onde. De $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m_e}$, la différentielle logarithmique donne $\frac{\mathrm{d}E}{E}=2\frac{\mathrm{d}k}{k}$ ; de $\lambda =2\pi /k$, $\frac{|\mathrm{d}\lambda |}{\lambda }=\frac{\mathrm{d}k}{k}$. D'où $$\frac{\Delta k}{k}=\frac{\Delta \lambda }{\lambda }=\frac{\Delta E}{2E}=\frac{0,3}{200}=1,5\times 10^{-3},\Delta k=7,7\times 10^7{\mathrm{m}}^{-1}.$$ Le facteur 2 vient de la dispersion quadratique.

3) Un train d'onde de 82 nanomètres. Des ondes de vecteurs d'onde voisins, en phase en un point, se déphasent de $2\pi$ entre extrêmes sur une longueur $L_c$ telle que $\Delta k{L}_c\sim 2\pi$ ; au-delà, leurs contributions se compensent. L'électron est donc localisé sur $$L_c\sim \frac{2\pi }{\Delta k}=\frac{{\lambda }^2}{\Delta \lambda }=\frac{2\pi }{7,68\times 10^7}=82\mathrm{nm},\frac{L_c}{\lambda }=\frac{2E}{\Delta E}=667.$$ C'est un ordre de grandeur : le coefficient dépend de la forme du spectre et de la définition des largeurs (voir le problème).

4) Les franges s'éteignent. Le biprisme partage l'onde de chaque électron ; les deux parts se recouvrent avec la différence de marche $\delta$. Chaque composante de vecteur d'onde $k$ donne ses franges, et le décalage d'ordre entre composantes extrêmes vaut $\frac{\Delta k\delta }{2\pi }$ : quand il atteint 1, pour $\delta \sim L_c$, les systèmes de franges se brouillent (critère de brouillage de l'optique). Autrement dit, les deux copies du même train ne se recouvrent plus. On voit des franges jusqu'à l'ordre $L_c/\lambda$ : environ 667 franges avec la pointe. Avec le filament, $\Delta k$ est $6,7$ fois plus grand : $L_c\approx 12\mathrm{nm}$, 100 franges. D'où le choix des pointes à émission de champ en holographie électronique.

5) Heisenberg déguisé. $\Delta p=\hslash \Delta k$ et $L_c=2\pi /\Delta k$, donc $L_c\Delta p=2\pi \hslash =h$, quelle que soit l'énergie : c'est l'inégalité de Heisenberg spatiale en ordre de grandeur, le long du faisceau. Une source plus monochromatique donne des électrons moins localisés.

6) Cas limite et analogie. Si $\Delta E\to 0$, $L_c\to \infty$ : l'onde plane, non normalisable ; un électron parfaitement monochromatique est une idéalisation, comme une onde lumineuse monochromatique. En optique, une raie de largeur $\Delta \lambda$ a la même longueur de cohérence ${\lambda }^2/\Delta \lambda$, et un temps de cohérence ${\tau }_c$ tel que $\Delta f{\tau }_c\sim 1$. Remarque : le train passe en un point en $\Delta t=L_c/v=1,4\times 10^{-14}\mathrm{s}$ ($v=5,93\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) et, comme $\Delta E=v\Delta p$ (dérivée de $p^2/2m$), $\Delta E\Delta t=h$ ; cette relation temps-énergie n'est pas au programme.

Ce que l'exercice installe. Une dispersion en énergie devient, par la relation de dispersion ($\Delta k/k=\Delta E/2E$), une dispersion en vecteur d'onde, puis, par la synthèse spectrale, une étendue spatiale : la longueur de cohérence $L_c\sim {\lambda }^2/\Delta \lambda$, qui borne le nombre de franges. Et $L_c\Delta p=h$ : Heisenberg le long du faisceau.