Continuité et rejet des solutions divergentes

Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel · niveau 2

Énoncé

Une particule d'énergie $E < V_{0}$ aborde une marche ; dans la région $x > 0$ , où $V = V_{0}$ , non bornée vers $+ \infty$ , la solution générale est $φ = A e^{- κ x} + B e^{+ κ x}$ . Justifier $B = 0$ . L'argument « le terme $B e^{κ x}$ rend $\int ∣ φ ∣^{2} d x$ infini » suffit-il ?

Corrigé

L'argument de l'intégrale infinie ne suffit pas : l'onde incidente $A_{i} e^{i k x}$ de la région $x < 0$ n'est pas normalisable non plus ( $\int_{- \infty}^{0} ∣ A_{i} ∣^{2} d x$ diverge), et on la garde pourtant, comme idéalisation d'un faisceau uniforme très étendu (c'est la difficulté de normalisation de l'onde plane, rencontrée avec la particule libre). Ce qui distingue les deux cas, c'est la densité : celle de l'onde plane est bornée, uniforme, celle de $B e^{κ x}$ croît sans borne, $∣ B ∣^{2} e^{2 κ x}$ , à mesure que l'on s'enfonce dans la région interdite. Une particule de plus en plus probablement présente de plus en plus loin de la marche, sans aucune source à l'infini pour l'y amener (la seule source est l'onde incidente, à gauche) : c'est physiquement exclu. Donc $B = 0$ et $φ = A e^{- κ x}$ , de densité bornée et même de carré intégrable sur $[0, + \infty [$ . Le critère est donc : dans une région non bornée, on rejette toute solution dont la densité croît sans borne. Dans une région bornée (une barrière), aucune exponentielle ne diverge : on garde les deux.