Déphasage à la réflexion sur une marche — exercice corrigé de physique quantique (MPI) (chapitre 3)

Déphasage à la réflexion sur une marche

Marches et barrières de potentiel ; effet tunnel · niveau 2

Énoncé

Pour la marche $E < V_{0}$ , calculer le module et la phase du rapport $r = A_{r} / A_{i} = \frac{k _{1} - i κ}{k _{1} + i κ}$ ; tracer la phase en fonction de $E / V_{0}$ et interpréter ses deux limites.

Corrigé

Écrivons $k_{1} + i κ = ρ e^{i θ}$ avec $ρ = k_{1}^{2} + κ^{2}$ et $tan θ = κ / k_{1}$ , $0 < θ < π /2$ . Alors $k_{1} - i κ = ρ e^{- i θ}$ et

$r = \frac{ρ e ^{- i θ}}{ρ e ^{i θ}} = e^{- 2 i θ}, ∣ r ∣ = 1, ar g r = - 2 θ = - 2 arctan \frac{κ}{k _{1}} = - 2 arctan \frac{V _{0} - E}{E} .$

La réflexion est totale ( $∣ r ∣ = 1$ ) mais s'accompagne d'un déphasage qui dépend de l'énergie, contrairement à la réflexion d'une particule classique sur un mur. Dans la région $x < 0$ , $φ_{1} = 2 A_{i} e^{- i θ} cos (k_{1} x + θ)$ : la position des ventres et des nœuds de l'onde stationnaire dépend de $E$ . Quand $E \to 0$ , $θ \to π /2$ et $r \to - 1$ : nœud sur la marche, comme devant un mur infini. Quand $E \to V_{0}^{-}$ , $θ \to 0$ et $r \to 1$ : ventre sur la marche, et l'on se raccorde continûment au cas $E > V_{0}$ , où $r = \frac{k _{1} - k _{2}}{k _{1} + k _{2}} \to 1$ .