Hauteur, largeur, masse : les trois leviers de l'effet tunnel

La stratégie. On ne résout pas le système complet : on regarde ce que la continuité impose à la sortie de la barrière, où l'onde transmise est seule, et l'on en déduit le poids relatif des deux exponentielles. Si la barrière est épaisse, l'exponentielle croissante est négligeable à l'entrée, l'entrée se comporte comme une marche, et toute la dépendance en $a$ se concentre dans un seul facteur, ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$.

1) Les ondes retenues. La région 2 est bornée : aucune des deux exponentielles n'y diverge, on n'a aucune raison d'en rejeter une. La région 3 s'étend à l'infini sans source : seule l'onde qui s'éloigne, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}$, y figure.

2) À la sortie. En $x=a$, ${\phi }_2(a)=A_t$ et $\frac{\mathrm{d}{\phi }_2}{\mathrm{d}x}(a)=\mathrm{i}k{A}_t$ : $$B{\mathrm{e}}^{-\kappa a}+C{\mathrm{e}}^{\kappa a}=A_t,-\kappa B{\mathrm{e}}^{-\kappa a}+\kappa C{\mathrm{e}}^{\kappa a}=\mathrm{i}k{A}_t.$$ La demi-somme et la demi-différence (après division de la seconde par $\kappa$) donnent $$C{\mathrm{e}}^{\kappa a}=\frac{A_t}{2}\left(1+\frac{\mathrm{i}k}{\kappa }\right),B{\mathrm{e}}^{-\kappa a}=\frac{A_t}{2}\left(1-\frac{\mathrm{i}k}{\kappa }\right).$$ Les deux nombres $1\pm \mathrm{i}k/\kappa$ sont conjugués : à la sortie, la décroissante et la croissante ont le même module. Donc $\left|\frac{C}{B}\right|={\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$. À l'entrée, en $x=0$, le terme croissant vaut $C$ et le terme décroissant $B$ : si $\kappa a\gg 1$, $|C|\ll |B|$, et sur l'essentiel de la barrière ${\phi }_2\approx B{\mathrm{e}}^{-\kappa x}$. Les conditions de continuité en $x=0$ sont alors celles d'une marche de hauteur $V_0$ : $B/A_i=\frac{2k}{k+\mathrm{i}\kappa }$, rapport qui ne dépend que de $k/\kappa$.

3) La loi d'échelle. De la question 2, $A_t=\frac{2B{\mathrm{e}}^{-\kappa a}}{1-\mathrm{i}k/\kappa }$, donc $$\frac{|A_t{|}^2}{|A_i{|}^2}=\underset{F}{\underbrace{{\left|\frac{B}{A_i}\right|}^2\frac{4}{1+k^2/{\kappa }^2}}}{\mathrm{e}}^{-2\kappa a},$$ où $F$ ne dépend que de $k/\kappa =\sqrt{E/(V_0-E)}$ : ni de la largeur, ni de la masse (elle se simplifie dans le rapport). C'est la décroissance de l'onde évanescente sur la largeur de la barrière : la densité qui sort est celle qui entre, multipliée par ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ et par des facteurs de raccordement. Toute la sensibilité est dans l'exposant $$2\kappa a=\frac{2a\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash },$$ proportionnel à la largeur, à la racine du déficit d'énergie et à la racine de la masse : ce sont les trois leviers. À $E$ et $V_0$ fixés, les rapports de densités transmises sont exactement des rapports d'exponentielles.

4) Les leviers chiffrés. $\kappa =5,12\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}\times \sqrt{1}=5,12\times 10^9{\mathrm{m}}^{-1}$, $1/\kappa =0,195\mathrm{nm}$, $\kappa a=2,56$ et $${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}={\mathrm{e}}^{-5,12}=6,0\times 10^{-3}.$$ Largeur doublée : l'exposant double, l'exponentielle est élevée au carré, $3,5\times 10^{-5}$, divisée par $168$. Déficit quadruplé ($V_0=5\mathrm{eV}$) : $\kappa$ double, même résultat, $3,5\times 10^{-5}$ ; le facteur $F$ change aussi, puisque $k/\kappa$ passe de $1$ à $1/2$, mais d'un facteur modeste devant les deux décades de l'exponentielle. Masse effective $0,2m_e$ : $\kappa$ est multiplié par $\sqrt{0,2}=0,447$, l'exponentielle vaut ${\mathrm{e}}^{-2,29}=0,10$, dix-sept fois plus ; ici le rapport est exact, car $F$ ne dépend pas de la masse. Dans un semi-conducteur, l'effet tunnel est bien plus facile que dans le vide, ce que les composants exploitent.

5) Le piège du proton. $\kappa \propto \sqrt{m}$ : pour le proton, ${\kappa }_p=\sqrt{m_p/m_e}{\kappa }_e=42,85{\kappa }_e$. C'est l'exposant qui est multiplié par $43$, pas la densité transmise qui est divisée par $43$ : $${\mathrm{e}}^{-2{\kappa }_{p}a}={\left({\mathrm{e}}^{-2{\kappa }_{e}a}\right)}^{42,85}={\left(6,0\times 10^{-3}\right)}^{42,85}={\mathrm{e}}^{-219,5}=10^{-95,3}.$$ Quatre-vingt-quinze ordres de grandeur, et non un facteur $43$ : à l'échelle du nanomètre, l'effet tunnel est une affaire d'électrons. Le proton n'y accède que sur des distances cent fois plus courtes, comme le montre la question suivante.

6) Le transfert de proton. Pour l'hydrogène, $$\kappa =\frac{\sqrt{2\times 1,673\times 10^{-27}\times 0,5\times 1,602\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}=1,55\times 10^{11}{\mathrm{m}}^{-1},$$ donc $2\kappa a=15,5$ et ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}=1,8\times 10^{-7}$. Pour le deutérium, deux fois plus lourd, l'exposant est multiplié par $\sqrt{m_D/m_p}=1,414$ : $2\kappa a=21,9$ et ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}=2,9\times 10^{-10}$. Rapport : environ $600$. La signature expérimentale de l'effet tunnel d'un noyau est donc l'effet isotopique : on remplace l'hydrogène par du deutérium et l'on mesure le ralentissement de la réaction. Sans effet tunnel (franchissement thermique par-dessus la barrière), il ne dépasse guère $7$ à température ambiante ; on mesure jusqu'à environ $80$ dans certaines enzymes. Le modèle rectangulaire exagère, mais il dit l'essentiel : un facteur de masse $2$ devient un facteur de plusieurs centaines parce qu'il agit dans l'exposant.

7) La barrière mince. Pour $a=0,05\mathrm{nm}$, $\kappa a=0,26$ et $|C/B|={\mathrm{e}}^{-2\kappa a}=0,60$ : l'exponentielle croissante n'est plus négligeable à l'entrée, l'entrée ne se comporte plus comme une marche, et la loi en ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ tombe. La barrière est presque transparente, et les facteurs de raccordement, qui dépendent alors de $a$, comptent autant que l'exponentielle. La loi d'échelle demande $\kappa a\gg 1$, en pratique $\kappa a\gtrsim 2$ (zone non grisée du graphique).

Ce que l'exercice installe. Sans aucune formule de transmission, la continuité à la sortie impose que les deux exponentielles y aient le même module ; pour $\kappa a\gg 1$, l'entrée se comporte comme une marche, et la densité transmise vaut $F(k/\kappa ){\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ fois la densité incidente. L'effet tunnel a trois leviers dans l'exposant : largeur, racine du déficit d'énergie, racine de la masse. Un facteur sur la masse multiplie l'exposant, il ne divise pas le résultat ; d'où l'effet isotopique, signature du passage d'un noyau par effet tunnel.