Problème : le microscope à effet tunnel, un courant qui compte les angströms

La stratégie. Tout repose sur l'onde évanescente dans le vide : le courant est proportionnel à ce qui en reste de l'autre côté, donc à ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$. On n'a jamais besoin d'un courant absolu (le nanoampère est une donnée) : seulement des rapports à hauteur de barrière fixée, qui donnent la sensibilité, la mesure de $\Phi$, la résolution verticale et, par la géométrie de la pointe, la résolution latérale.

1) La barrière du vide. Dans le vide, l'électron d'énergie $E$ voit l'énergie potentielle $E+\Phi$ : $\phi =B{\mathrm{e}}^{-\kappa x}+C{\mathrm{e}}^{\kappa x}$, avec $$\kappa =\frac{\sqrt{2m_e\Phi }}{\hslash }=\frac{\sqrt{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 4,5\times 1,602\times 10^{-19}}}{1,055\times 10^{-34}}=1,087\times 10^{10}{\mathrm{m}}^{-1},$$ soit $\frac{1}{\kappa }=0,092\mathrm{nm}$. À $a=0,5\mathrm{nm}$, $\kappa a=5,4\gg 1$ : la barrière est épaisse. Comme pour les trois leviers de l'effet tunnel, la continuité à la sortie impose aux deux exponentielles le même module, le terme croissant est négligeable à l'entrée, et la densité transmise vaut $F{\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$ fois la densité incidente, avec $F$ indépendant de $a$. Le courant étant proportionnel à cette densité, tous les autres facteurs étant indépendants de $a$ : $$I(a)=I_0{\mathrm{e}}^{-2\kappa (a-a_0)}.$$ À $1\mathrm{nA}$ passent $\frac{10^{-9}}{1,602\times 10^{-19}}=6\times 10^9$ électrons par seconde : un toutes les $0,16\mathrm{ns}$. Chacun traverse seul la barrière ; c'est bien la physique d'une particule face à une barrière.

2) Sensibilité. Reculer de $0,1\mathrm{nm}$ divise le courant par ${\mathrm{e}}^{2\kappa \times 0,1\mathrm{nm}}={\mathrm{e}}^{2,17}=8,8$. Le diviser par $10$ demande $\Delta a=\frac{\ln 10}{2\kappa }=0,106\mathrm{nm}$, à peine plus d'un angström. À $a=1\mathrm{nm}$ : $$I=1\mathrm{nA}\times {\mathrm{e}}^{-2\kappa \times 0,5\mathrm{nm}}=1\mathrm{nA}\times {\mathrm{e}}^{-10,9}=1,9\times 10^{-5}\mathrm{nA}=19\mathrm{fA},$$ noyé dans le bruit des meilleurs amplificateurs : le microscope ne fonctionne qu'à moins d'un nanomètre de la surface. Influence de la hauteur : $\kappa \propto \sqrt{\Phi }$, d'où un facteur $7,8$ par $0,1\mathrm{nm}$ pour $\Phi =4\mathrm{eV}$ et $9,9$ pour $5\mathrm{eV}$. Le « facteur dix par angström » est un ordre de grandeur, exact à $\Phi \approx 5\mathrm{eV}$.

3) La hauteur de barrière, mesurée. $\frac{I(a-0,05\mathrm{nm})}{I(a)}={\mathrm{e}}^{2\kappa \times 0,05\mathrm{nm}}=2,80$, donc $$\kappa =\frac{\ln 2,80}{2\times 0,050\mathrm{nm}}=\frac{1,030}{0,100\mathrm{nm}}=1,03\times 10^{10}{\mathrm{m}}^{-1},{\Phi }_{\text{app}}=\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m_e}=4,0\mathrm{eV}.$$ C'est caractériser l'onde évanescente par une mesure : on lit $\kappa$ sur la pente de $\ln I$ en fonction de $a$, sans connaître ni le préfacteur ni le courant absolu. La hauteur apparente est plus basse que le travail de sortie tabulé : l'électron dans le vide est attiré par les deux surfaces métalliques (forces images), qui arrondissent et abaissent la barrière.

4) Résolution verticale. Une variation relative $\frac{\Delta I}{I}=2\kappa \Delta a$ (dérivée logarithmique) ; tenir $I$ à $2\%$ près tient $a$ à $$\Delta a=\frac{0,02}{2\kappa }=\frac{0,02}{2,17\times 10^{10}{\mathrm{m}}^{-1}}=0,92\mathrm{pm},$$ un centième de diamètre atomique : la tension du piézoélectrique enregistre le relief de la surface au picomètre près, ce qui fait voir les atomes, de hauteur quelques dizaines de picomètres. Réciproquement, une vibration de $1\mathrm{pm}$ module le courant de $2\kappa \times 1\mathrm{pm}=2,2\%$, autant que la consigne. Le sol vibre au micromètre : pour ramener les vibrations de la pointe sous le picomètre, l'isolation (suspension, amortissement, rigidité de la tête) doit atténuer d'un facteur de l'ordre de $10^6$. C'est la difficulté technique majeure de l'instrument.

5) Résolution latérale. Un point de la sphère à la distance $\rho$ de l'axe est plus haut que le point le plus bas de $R-\sqrt{R^2-{\rho }^2}=R\left(1-\sqrt{1-{\rho }^2/R^2}\right)\approx \frac{{\rho }^2}{2R}$ pour $\rho \ll R$. L'épaisseur de vide y vaut donc $a+\frac{{\rho }^2}{2R}$, et la densité de courant, en ${\mathrm{e}}^{-2\kappa \times \text{eˊpaisseur}}$, varie comme $$\exp \left(-2\kappa \frac{{\rho }^2}{2R}\right)=\exp \left(-\frac{\kappa {\rho }^2}{R}\right),$$ une gaussienne de rayon ${\rho }_0=\sqrt{R/\kappa }$ (atténuation d'un facteur $\mathrm{e}$) : $0,30\mathrm{nm}$ pour $R=1\mathrm{nm}$, $0,96\mathrm{nm}$ pour $10\mathrm{nm}$, $3,0\mathrm{nm}$ pour $100\mathrm{nm}$. La tache est bien plus petite que la pointe, parce que l'exponentielle sélectionne le point le plus proche ; mais une pointe de $100\mathrm{nm}$ ne résoudrait pas des atomes distants de $0,25\mathrm{nm}$. Or les pointes réelles, de rayon $10$ à $100\mathrm{nm}$, donnent la résolution atomique : c'est qu'elles portent presque toujours un atome en saillie. Les trois voisins, en retrait de $0,2\mathrm{nm}$, portent chacun ${\mathrm{e}}^{-2\kappa \times 0,2\mathrm{nm}}={\mathrm{e}}^{-4,35}=1,3\%$ du courant de l'atome du bout, qui en conduit donc $$\frac{1}{1+3\times 0,013}=96\%.$$ La résolution latérale atomique vient de l'exponentielle : un seul atome conduit presque tout le courant.

6) Cas limites et résultat. À $a=0,2\mathrm{nm}$, $\kappa a=2,2$ : la condition de barrière épaisse est encore satisfaite (à l'entrée, le terme croissant ne vaut que ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}=1,3\%$ du terme décroissant), mais la barrière réelle, abaissée par les forces images, devient plus basse et plus mince que le modèle. Au contact, la barrière disparaît : le courant cesse de croître exponentiellement, il sature à la conductance d'un contact atomique. Avec des protons, l'exposant serait multiplié par $\sqrt{m_p/m_e}=42,85$ : $2\kappa a=466$ à $0,5\mathrm{nm}$, aucun courant. Le microscope à effet tunnel est un instrument à électrons, prix Nobel de physique 1986 (Binnig et Rohrer).

Le résultat obtenu — le microscope à effet tunnel. Entre la pointe et l'échantillon, le vide est une barrière de hauteur égale au travail de sortie $\Phi$ ; l'électron la traverse par son onde évanescente, et pour $\kappa a\gg 1$ le courant tunnel varie comme $I\propto {\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$, avec $\kappa =\frac{\sqrt{2m_e\Phi }}{\hslash }\approx 10^{10}{\mathrm{m}}^{-1}$ : il est divisé par environ $9$ à chaque angström de recul ($8,8$ pour $\Phi =4,5\mathrm{eV}$). La pente de $\ln I$ en fonction de $a$ mesure la hauteur de barrière ; un asservissement à quelques pour cent tient la distance au picomètre (résolution verticale), et la même exponentielle concentre le courant sur l'atome le plus proche de la surface (résolution latérale atomique).

Ce que le problème installe. Une application de l'effet tunnel se traite avec la seule onde évanescente : la loi ${\mathrm{e}}^{-2\kappa a}$, exploitée par rapports à hauteur fixée, donne la sensibilité, la mesure de $\Phi$ et les deux résolutions, sans aucun courant absolu calculé. Et un réflexe d'ordre de grandeur : $1/\kappa \approx 0,1\mathrm{nm}$ pour quelques électronvolts, un facteur dix par angström, un facteur $43$ dans l'exposant pour un proton.