Diviser l'incertitude par deux

Exercice de TD · niveau 2 · physique (seconde), chapitre 1 — Mesure et incertitudes · Incertitude-type sur la moyenne

Énoncé

Une série de $5$ mesures d'une longueur conduit à une incertitude-type sur la moyenne $u = 0, 20 cm$ . On souhaite ramener cette incertitude à $0, 10 cm$ sans changer d'instrument ni de protocole : l'écart-type $σ$ de la série reste donc le même.

1. Exprimer $σ$ à partir de $u$ et du nombre de mesures, puis le calculer.
2. Combien de mesures faut-il réaliser au total ?
3. Le gain de précision est-il proportionnel au nombre de mesures ?

Corrigé

1. De $u = \frac{σ}{n}$ on tire $σ = u n = 0, 20 \times 5 \approx 0, 45 cm$ .
2. On cherche $n^{'}$ tel que $\frac{σ}{n ^{'}} = 0, 10$ , soit $n^{'} = \frac{0 , 45}{0 , 10} = 4, 5$ et $n^{'} = 4, 5^{2} \approx 20$ . Il faut donc $20$ mesures, quatre fois plus qu'au départ.
3. Non : l'incertitude varie comme $\frac{1}{n}$ . Pour la diviser par $2$ , il faut multiplier le nombre de mesures par $4$ ; pour la diviser par $10$ , il en faudrait $100$ fois plus. Répéter coûte de plus en plus cher pour un gain de moins en moins grand.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.