La bille écartée de la verticale

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique (seconde), chapitre 3 — Modélisation des Actions Mécaniques et Principe d'Inertie · Bilan des forces et principe d'inertie

Énoncé

Une bille de masse $m = 0, 50 kg$ est suspendue à un fil dont l'extrémité supérieure est fixée au plafond. On pousse la bille avec une force $F$ horizontale, de sorte que le fil s'écarte de la verticale d'un angle $α = 3 0^{\circ}$ et que la bille reste immobile. On prend $g = 9, 81 N/kg$ .

1. Faire le bilan des trois forces qui s'exercent sur la bille : nom, auteur, direction, sens.
2. La bille étant immobile, que vaut la somme $P + T + F$ ? Justifier.
3. Montrer que, mis bout à bout, les trois vecteurs forment un triangle rectangle : préciser où se trouve l'angle droit et où se retrouve l'angle $α$ .
4. Prolongement (trigonométrie). Calculer le poids $P$ , puis montrer que $F = P \times tan α$ et $T = \frac{P}{cos α}$ ; calculer $F$ et $T$ .

Corrigé

1. Le poids $P$ (action à distance de la Terre, vertical, vers le bas) ; la tension du fil $T$ (action de contact du fil, dirigée le long du fil, de la bille vers le point d'attache) ; la force $F$ (action de contact de la main, horizontale, dans le sens de la poussée).
2. La bille est immobile dans le référentiel terrestre : d'après le principe d'inertie, les forces se compensent, $P + T + F = 0$ .
3. Mis bout à bout, les trois vecteurs se referment. Comme $P$ est vertical et $F$ horizontale, ils forment l'angle droit du triangle, dont $T$ est l'hypoténuse. Le fil faisant l'angle $α$ avec la verticale, l'angle entre $T$ et le côté vertical (porté par $P$ ) vaut lui aussi $α$ .
4. $P = m \times g = 0, 50 \times 9, 81 \approx 4, 9 N$ . Dans ce triangle rectangle, $P$ est le côté adjacent à $α$ , $F$ le côté opposé et $T$ l'hypoténuse : $tan α = \frac{F}{P} \Rightarrow F = P tan 3 0^{\circ} = 4, 9 \times 0, 577 \approx 2, 8 N,$ $cos α = \frac{P}{T} \Rightarrow T = \frac{4 , 9}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{4 , 9}{0 , 866} \approx 5, 7 N .$ Vérification qualitative : plus on écarte le fil (plus $α$ grandit), plus $F$ et $T$ augmentent — et $T$ dépasse $P$ dès que le fil n'est plus vertical.

<p class="legende-figure">Bille immobile : P + T + F = 0. La tension est dirigée le long du fil, vers l'attache.</p>

<p class="legende-figure">Triangle rectangle : P et F forment l'angle droit, T est l'hypoténuse.</p>

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