Implémentation de la méthode de Newton — exercice corrigé de Python (école d'ingénieur) (chapitre 11)

Implémentation de la méthode de Newton

Résolution d'équations non linéaires

Énoncé

Écrire une fonction newton(f, df, x0, epsilon, maxiter) et la tester sur la fonction $f (x) = cos (x) - x$ (dont la racine est $\approx 0.739085$ ) avec une initialisation $x_{0} = 0.5$ .

Corrigé

import math

def newton(f, df, x0, epsilon=1e-12, maxiter=100):
    """
    Méthode de Newton-Raphson.
    """
    x = x0
    for n in range(maxiter):
        fx = f(x)
        if abs(fx) < epsilon:
            print(f"Convergence après {n+1} itérations")
            return x
        dfx = df(x)
        if abs(dfx) < 1e-15:
            raise RuntimeError("Dérivée nulle")
        x_new = x - fx / dfx
        if abs(x_new - x) < epsilon:
            print(f"Convergence après {n+1} itérations")
            return x_new
        x = x_new
    raise RuntimeError(f"Non convergence après {maxiter} itérations")

# Test
f = lambda x: math.cos(x) - x
df = lambda x: -math.sin(x) - 1

racine = newton(f, df, 0.5)
print(f"Racine : {racine:.10f}")
print(f"Vérification : cos({racine:.10f}) - {racine:.10f} = {f(racine):.2e}")

Résultat dans la console :

Convergence après 4 itérations
Racine : 0.7390851332
Vérification : cos(0.7390851332) - 0.7390851332 = 0.00e+00

Newton converge en seulement 4 itérations, illustrant sa convergence quadratique locale rapide.