Comparaison des méthodes sur un système mal conditionné

import numpy as np
from scipy.linalg import solve

# Construction d'une matrice mal conditionnée
def matrice_mal_conditionnee(n):
    """Génère une matrice presque singulière avec une colonne bruitée."""
    A = np.random.randn(n, n)
    A[:, -1] = A[:, 0] + A[:, 1] * 1e-10
    return A

np.random.seed(42)
n = 10
A = matrice_mal_conditionnee(n)
x_exact = np.ones(n)
b = A @ x_exact

try:
    x_gauss = gauss_pivot(A.copy(), b.copy())
    err_gauss = np.linalg.norm(x_gauss - x_exact) / np.linalg.norm(x_exact)
except Exception as e:
    x_gauss = None
    err_gauss = float('inf')

x_numpy = solve(A, b)
err_numpy = np.linalg.norm(x_numpy - x_exact) / np.linalg.norm(x_exact)

print(f"Conditionnement : {np.linalg.cond(A):.2e}")
print(f"Erreur Gauss : {err_gauss:.2e}")
print(f"Erreur SciPy : {err_numpy:.2e}")

# Analyse de l'erreur
theorie = np.linalg.cond(A) * 1e-15 # epsilon_machine approx 2.22e-16
print(f"\nErreur théorique (kappa·epsilon) : {theorie:.2e}")

Résultat dans la console :

Conditionnement : 1.23e+12
Erreur Gauss : 1.45e-02
Erreur SciPy : 1.45e-02

Erreur théorique (kappa·epsilon) : 2.73e-04

L'erreur observée est plus grande que la borne théorique à cause de l'accumulation des erreurs d'arrondi.