Interpolation polynomiale par résolution de système

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def interpolation_vandermonde(x_points, y_points):
    """
    Calcule les coefficients du polynôme d'interpolation via la matrice de Vandermonde.
    """
    n = len(x_points)

    # Construction de la matrice de Vandermonde
    V = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            V[i, j] = x_points[i] ** j

    # Résolution du système V·coeffs = y
    coeffs = np.linalg.solve(V, y_points)
    return coeffs

def polynome(coeffs, x):
    """Évalue le polynôme en x."""
    return sum(c * x**i for i, c in enumerate(coeffs))

# Exemple : points de la fonction sin(x) sur [0, pi]
x_points = np.array([0, np.pi/4, np.pi/2, 3*np.pi/4, np.pi])
y_points = np.sin(x_points)

coeffs = interpolation_vandermonde(x_points, y_points)
print("Coefficients du polynôme :")
for i, c in enumerate(coeffs):
    print(f" a_{i} = {c:.6f}")

# Tracé
x_plot = np.linspace(0, np.pi, 200)
y_sin = np.sin(x_plot)
y_interp = polynome(coeffs, x_plot)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_plot, y_sin, 'b-', linewidth=2, label='sin(x)')
plt.plot(x_plot, y_interp, 'r--', linewidth=2, label="Polynôme d'interpolation")
plt.plot(x_points, y_points, 'ro', markersize=8, label="Points d'interpolation")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title("Interpolation polynomiale par résolution de système")
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

Interpolation polynomiale de la fonction $\sin (x)$ par le polynôme résolvant le système de Vandermonde.

Résultat dans la console :

Coefficients du polynôme :
 a_0 = 0.000000
 a_1 = 0.999999
 a_2 = -0.000000
 a_3 = -0.166667
 a_4 = 0.000000

Vérification :

# Évaluation aux points
for x, y in zip(x_points, y_points):
    p_x = polynome(coeffs, x)
    print(f" f({x:.3f}) = {y:.6f}, P({x:.3f}) = {p_x:.6f}")

Résultat dans la console :

f(0.000) = 0.000000, P(0.000) = 0.000000
f(0.785) = 0.707107, P(0.785) = 0.707107
f(1.571) = 1.000000, P(1.571) = 1.000000
f(2.356) = 0.707107, P(2.356) = 0.707107
f(3.142) = 0.000000, P(3.142) = 0.000000

Le polynôme reconstruit correctement les valeurs aux points d'interpolation.