Contrôler la matrice que donne le modeleur 3D : outil d'un robot six axes

La stratégie. Ne rien recalculer de la géométrie : on teste la cohérence interne des données (Huygens entre $G$ et $O$, inégalités triangulaires), on confie les axes principaux à une bibliothèque, puis on transporte la matrice, depuis $G$, au point de l'axe 5.

1) Hypothèses et convention. Le modeleur intègre sur les volumes de la maquette, à masse volumique uniforme par pièce : chaque pièce est un solide indéformable homogène, et tout ce qui n'est pas dessiné (câbles, tuyaux, air comprimé, vis) est ignoré ; d'où l'intérêt de peser la pince réelle. Pour un produit, Huygens s'écrit ${\iiint }_{O}xy\mathrm{d}m={\iiint }_{G}xy\mathrm{d}m+M{x}_G{y}_G$ (développer $x=x_G+x^{\prime }$, $y=y_G+y^{\prime }$ et utiliser $\iiint x^{\prime }\mathrm{d}m=0$). Test sur $xz$, le plus grand : affiché $0,016760-0,003910=0,012850$, et $M{x}_G{z}_G=5,2\times 0,02500\times 0,09885=0,012850$. Même accord sur $xy$ ($0,000425$) et $yz$ ($0,001680$). Le signe est plus : le logiciel affiche $F=\iiint xy\mathrm{d}m$, $E$, $D$, c'est-à-dire la convention du cours, sans le signe moins de la matrice. Avec l'autre convention, la différence aurait été $-M{x}_G{z}_G$.

2) La coquille. Premier contrôle, les inégalités triangulaires en $G$ : $A+C=0,040896+0,018809=0,0597<0,0779=B$. Impossible : la valeur $L_{yy}(G)=0,077940$ est fausse. Second contrôle, Huygens sur ce moment : $I_{yy}(O)-I_{yy}(G)$ doit valoir $M(x_G^2+z_G^2)=5,2\times (0,000625+0,009771)=0,05406$ ; il vient $L_{yy}(G)=0,101997-0,05406=0,04794\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Les inégalités sont alors satisfaites ($0,0597\ge 0,0479$), et les deux autres moments passent le même test de Huygens.

3) Axes principaux. La matrice en $G$ s'écrit avec le signe moins devant les produits affichés :

import numpy as np
IG = np.array([[ 0.040896,  0.003405, -0.003910],
               [ 0.003405,  0.047940,  0.002150],
               [-0.003910,  0.002150,  0.018809]])
moments, axes = np.linalg.eigh(IG)   # matrice symétrique
print(moments)          # [0.0179 0.0404 0.0493]
print(axes[:, 0])       # axe du plus petit moment, en colonnes

La matrice est symétrique réelle : elle se diagonalise dans une base orthonormée, celle des axes principaux ; eigh est la fonction faite pour ce cas. Le plus petit moment, $0,0179\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, correspond à un axe incliné de $11,6^{\circ }$ sur $\overrightarrow{z}$ : c'est la direction d'allongement de la pince (doigts), penchée parce que la caméra et les distributeurs, décalés, déplacent la matière d'un seul côté. La trace vaut $0,1076$ dans les deux bases, contrôle immédiat.

4) La fiche technique, pince seule. Axe 6 : c'est l'axe $(O,\overrightarrow{z})$ ; $I_{zz}(O)=0,0221\le 0,15$ : conforme, très largement. Axe 5 : il passe par $P_5$, de direction $\overrightarrow{u}=\cos \phi \overrightarrow{x}+\sin \phi \overrightarrow{y}$ selon l'angle de l'axe 6. On transporte de $G$ vers $P_5$, avec $\overrightarrow{P_{5}G}=(0,025;0,00327;0,19885)$ : $$I_{xx}(P_5)=0,040896+5,2(0,00327^2+0,19885^2)=0,2466\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,$$ $$I_{yy}(P_5)=0,04794+5,2(0,025^2+0,19885^2)=0,2568\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2,$$ et le produit $F(P_5)=F(G)+M{x}_G{y}_G=-0,002980$ (identique à celui de $O$, puisque $P_5$ et $O$ sont sur le même axe $\overrightarrow{z}$). Le moment autour de $(P_5,\overrightarrow{u})$ vaut $\overrightarrow{u}\cdot [I(P_5)]\overrightarrow{u}=I_{xx}{\cos }^2\phi +I_{yy}{\sin }^2\phi -2F\cos \phi \sin \phi$ ; son maximum sur $\phi$ est la plus grande valeur propre du bloc $\left(\begin{array}{cc}0,2466& 0,0030\\ 0,0030& 0,2568\end{array}\right)$, soit $0,2576\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\le 0,45$ : conforme, marge 43 %. Partir de $O$ en ajoutant « $M\times 0,1^2$ » aurait donné $0,154$ : faux de 40 %, parce que $O$ n'est pas le centre d'inertie.

5) Avec la pièce. La charge totale ($7,7\mathrm{kg}$) respecte la fiche, mais l'inertie autour de l'axe 5 atteint $0,664\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ : non conforme, 48 % au-dessus de la limite. Cause : la pièce est à $0,40\mathrm{m}$ de l'axe 5 ; son terme de Huygens, $2,5\times 0,40^2=0,40\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$, presque la limite à lui seul, l'emporte sur son moment propre ($4\cdot 10^{-3}$) et sur toute la pince. La masse n'est pas le bon critère : c'est $m{d}^2$. Remèdes : saisir la pièce plus près de la bride (le calcul refait donne la limite atteinte pour une pièce centrée à $173\mathrm{mm}$ de la bride, ce qui exige des doigts beaucoup plus courts).

Ce que l'exercice installe. Une matrice issue d'un logiciel se contrôle sans la recalculer : Huygens entre $G$ et un autre point (il fixe aussi la convention de signe des produits), inégalités triangulaires, trace. Les axes principaux sont les vecteurs propres d'une matrice symétrique réelle : une bibliothèque les donne (numpy.linalg.eigh). Le moment autour d'un axe s'écrit $\overrightarrow{u}\cdot [I]\overrightarrow{u}$, et son pire cas, quand la direction tourne dans un plan, est la plus grande valeur propre du bloc correspondant. Pour une charge en bout de bras, c'est $m{d}^2$ qui décide, pas $m$.