Demi-disque homogène

Le plan $(O,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)$ est plan de symétrie matérielle ($x\to -x$) : $x_G=0$ ; le solide est plan : $z_G=0$. En coordonnées polaires, $\mathrm{d}S=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ avec $0\le r\le R$, $0\le \theta \le \pi$, et la surface vaut $\frac{\pi R^2}{2}$ :

$$y_G=\frac{2}{\pi R^2}{\int }_0^R{\int }_0^{\pi }r\sin \theta r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\frac{2}{\pi R^2}\cdot \frac{R^3}{3}\cdot 2=\frac{4R}{3\pi }\approx 0,424R.$$

En $O$, le demi-disque est la moitié d'un disque de masse $2m$, symétrique de l'autre moitié : il porte la moitié de chacun de ses moments, $I_{xx}(O)=I_{yy}(O)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}(2m)R^2=\frac{1}{4}m{R}^2$ et $I_{zz}(O)=\frac{1}{2}m{R}^2$. Le plan de symétrie $x\to -x$ annule $F=\iint xy\mathrm{d}m$ et $E$ ; le solide plan annule $D$ et $E$. La matrice est diagonale en $O$. En $G$, avec $\overrightarrow{OG}=y_G{\overrightarrow{e}}_y$, Huygens retranche $m{y}_G^2$ aux moments autour de ${\overrightarrow{e}}_x$ et de ${\overrightarrow{e}}_z$ :

$$\begin{array}{c}{I}_{xx}(G)=\left(\frac{1}{4}-\frac{16}{9{\pi }^2}\right)m{R}^2=0,0699m{R}^2,I_{yy}(G)=\frac{1}{4}m{R}^2,\\ I_{zz}(G)=\left(\frac{1}{2}-\frac{16}{9{\pi }^2}\right)m{R}^2=0,3199m{R}^2.\end{array}$$

Contrôle : $I_{zz}(G)=I_{xx}(G)+I_{yy}(G)$ (solide plan). Le moment autour de $(G,{\overrightarrow{e}}_x)$ est plus de trois fois plus faible qu'en $O$ : la matière est ramassée autour de $G$ dans la direction ${\overrightarrow{e}}_y$.