Ellipsoïde de révolution plein — exercice corrigé de sciences industrielles (MP) (chapitre 1)

Ellipsoïde de révolution plein

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · niveau 2

Énoncé

Un solide homogène de masse $m$ occupe le domaine $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{a ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1$ . Donner sa matrice d'inertie en son centre $O$ .

Corrigé

Les trois plans de coordonnées sont plans de symétrie : la base est principale en $O$ , et $(O, e_{z})$ est axe de révolution : $A = B$ . Le changement de variables $x = a u$ , $y = a v$ , $z = c w$ envoie l'ellipsoïde sur la boule unité $U$ , avec $d V = a^{2} c d u d v d w$ ; donc $m = ρ a^{2} c \cdot \frac{4 π}{3}$ . Pour la boule unité, $∭_{U} u^{2} d V = \frac{1}{3} ∭_{U} (u^{2} + v^{2} + w^{2}) d V = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} r^{2} 4 π r^{2} d r = \frac{4 π}{15}$ . D'où

$∭ x^{2} d m = ρ a^{2} c a^{2} \frac{4 π}{15} = \frac{1}{5} m a^{2}, ∭ y^{2} d m = \frac{1}{5} m a^{2}, ∭ z^{2} d m = \frac{1}{5} m c^{2},$

$[I (O)] = diag (\frac{1}{5} m (a^{2} + c^{2}), \frac{1}{5} m (a^{2} + c^{2}), \frac{2}{5} m a^{2}) .$

Pour $a = c$ , on retrouve la sphère, $\frac{2}{5} m R^{2}$ ; un ellipsoïde allongé ( $c > a$ ) a son plus petit moment autour de son grand axe.