Plaque triangulaire rectangle — exercice corrigé de sciences industrielles (MP) (chapitre 1)

Plaque triangulaire rectangle

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · niveau 2

Énoncé

Une plaque triangulaire homogène de masse $m$ a pour sommets $O (0, 0)$ , $(a, 0)$ et $(0, b)$ dans le plan $(O, e_{x}, e_{y})$ . Calculer son centre d'inertie et le produit d'inertie $F = \iint x y d m$ en $O$ , puis en $G$ .

Corrigé

La surface vaut $S = \frac{ab}{2}$ , la masse surfacique $σ = \frac{2 m}{ab}$ , et l'hypoténuse a pour équation $y = b (1 - x / a)$ . Alors

$x_{G} = \frac{2}{ab} \int_{0}^{a} x b (1 - \frac{x}{a}) d x = \frac{a}{3}, y_{G} = \frac{b}{3} (de m e ˆ me) .$

$F (O) = σ \int_{0}^{a} x (\int_{0}^{b (1 - x / a)} y d y) d x = σ \int_{0}^{a} x \frac{b ^{2} ( 1 - x / a ) ^{2}}{2} d x = σ \frac{b ^{2}}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{12} = \frac{1}{12} m a b,$

puisque $\int_{0}^{a} x (1 - x / a)^{2} d x = \frac{a ^{2}}{12}$ . Huygens pour les produits : $F (O) = F (G) + m x_{G} y_{G}$ , d'où

$F (G) = \frac{1}{12} mab - \frac{1}{9} mab = - \frac{1}{36} m a b .$

Le produit change de signe en passant de $O$ à $G$ : en $O$ , toute la matière est dans le quadrant $x > 0$ , $y > 0$ ; en $G$ , elle se répartit surtout le long de l'hypoténuse, dans les quadrants où $x$ et $y$ sont de signes opposés. Aucune base parallèle aux côtés n'est principale en $G$ : le triangle n'a pas de symétrie.