Problème — Inertie d'un bras de robot Delta

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · niveau 2

Énoncé

Un robot parallèle de type Delta comporte trois bras identiques articulés sur une base fixe. Chaque bras est constitué d'une manivelle 1, tige mince de masse $m_{1} = 0, 60 kg$ et de longueur $L_{1} = 0, 35 m$ , articulée en $O_{i}$ selon l'axe $(O_{i}, e_{z_{1}})$ , et d'un parallélogramme formé de deux bielles minces identiques, de masse $m_{2} = 0, 10 kg$ et de longueur $L_{2} = 0, 80 m$ chacune, parallèles à $e_{x_{1}}$ et distantes de $2 d = 100 mm$ selon $e_{z_{1}}$ .

Déterminer la matrice d'inertie de la manivelle en son articulation $O_{i}$ , dans la base $(e_{x_{1}}, e_{y_{1}}, e_{z_{1}})$ , la manivelle étant portée par $e_{x_{1}}$ .
Déterminer la matrice d'inertie de l'ensemble des deux bielles en leur centre d'inertie commun $G_{2}$ .

Corrigé

Tige mince portée par $e_{x_{1}}$ , articulée à une extrémité : formulaire en $G_{1}$ , puis Huygens de $\frac{L _{1}}{2}$ (même calcul que pour la tige transportée à son extrémité) :

$[I (O_{i}, 1)] = diag (0, \frac{1}{3} m_{1} L_{1}^{2}, \frac{1}{3} m_{1} L_{1}^{2}) = diag (0; 0, 0245; 0, 0245) kg \cdot m^{2} .$

Par symétrie, $G_{2}$ est au milieu des deux bielles. Chaque bielle a pour matrice en son centre $diag (0, \frac{1}{12} m_{2} L_{2}^{2}, \frac{1}{12} m_{2} L_{2}^{2})$ ; son centre est à $\pm d e_{z_{1}}$ de $G_{2}$ , et Huygens ajoute $m_{2} d^{2}$ aux moments autour de $e_{x_{1}}$ et de $e_{y_{1}}$ , rien autour de $e_{z_{1}}$ , aucun produit. Pour les deux bielles :

$[I (G_{2})] = diag (2 m_{2} d^{2}, \frac{1}{6} m_{2} L_{2}^{2} + 2 m_{2} d^{2}, \frac{1}{6} m_{2} L_{2}^{2}) = diag (5, 0 \cdot 1 0^{- 4}; 0, 01117; 0, 01067) kg \cdot m^{2} .$

Les deux plans médians du parallélogramme sont plans de symétrie : la base est principale. Le moment autour de l'axe des bielles n'est pas nul, contrairement à celui d'une bielle seule : il vient de leur écartement. L'inertie équivalente ramenée à l'arbre du moteur, qui demande la cinématique du parallélogramme et l'énergie cinétique, relève des théorèmes énergétiques.