Tube cylindrique creux — exercice corrigé de sciences industrielles (MP) (chapitre 1)

Tube cylindrique creux

Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie · niveau 2

Énoncé

Un tube homogène de masse $m$ , de rayons intérieur $R_{1}$ et extérieur $R_{2}$ et de hauteur $H$ a pour axe $(G, e_{z})$ . Exprimer sa matrice d'inertie en $G$ , par intégration pour $C$ , puis par différence de deux cylindres pleins.

Corrigé

Par intégration. Avec $d m = ρ H 2 π r d r$ et $m = ρ π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) H$ : $C = 2 π ρ H \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{3} d r = \frac{π ρ H}{2} (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) = \frac{1}{2} m (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ . Par différence (masse négative). Le tube est le cylindre plein de rayon $R_{2}$ (masse $m_{2} = m \frac{R _{2}^{2}}{R _{2}^{2} - R _{1}^{2}}$ ) moins le cylindre plein de rayon $R_{1}$ (masse $m_{1} = m \frac{R _{1}^{2}}{R _{2}^{2} - R _{1}^{2}}$ ), tous deux centrés en $G$ ; les matrices, au même point et dans la même base, se retranchent :

$C = \frac{1}{2} m_{2} R_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} R_{1}^{2} = \frac{m}{2} \frac{R _{2}^{4} - R _{1}^{4}}{R _{2}^{2} - R _{1}^{2}} = \frac{1}{2} m (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}),$

$A = B = (\frac{1}{4} m_{2} R_{2}^{2} + \frac{1}{12} m_{2} H^{2}) - (\frac{1}{4} m_{1} R_{1}^{2} + \frac{1}{12} m_{1} H^{2}) = \frac{1}{4} m (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) + \frac{1}{12} m H^{2} .$

La seconde méthode n'a demandé aucune intégrale : c'est celle qu'on emploie en pratique. Pour $R_{1} \to R_{2}$ , on retrouve un tube mince, $C = m R^{2}$ ; pour $R_{1} = 0$ , le cylindre plein.