Conservation du moment cinétique d'un patineur

Cinétique des Solides et des Systèmes · niveau 1 (application)

Énoncé

Un patineur en rotation libre sur la glace replie les bras ; son moment d'inertie par rapport à l'axe vertical passant par son centre d'inertie passe de $I_{1} = 3, 5 kg \cdot m^{2}$ à $I_{2} = 1, 0 kg \cdot m^{2}$ . Sa vitesse initiale est $N_{1} = 1 tr \cdot s^{- 1}$ . Calculer sa vitesse finale $N_{2}$ et le rapport des énergies cinétiques. Commenter.

Corrigé

Le patineur n'est pas un solide, mais la loi du moment cinétique autour d'un axe fixe vaut pour tout système matériel : les actions extérieures (poids, réaction de la glace, verticaux, frottement négligé) ont un moment nul par rapport à l'axe vertical, donc $σ_{z}$ se conserve. Dans chacune des deux postures, le patineur tourne d'un bloc, comme un solide : $σ_{z} = I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ , d'où $N_{2} = \frac{I _{1}}{I _{2}} N_{1} = \frac{3 , 5}{1 , 0} \times 1 = 3, 5 tr \cdot s^{- 1}$ . L'énergie cinétique $\frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{σ _{z}^{2}}{2 I}$ est multipliée par $I_{1} / I_{2} = 3, 5$ : le supplément vient du travail des muscles qui ramènent les bras vers l'axe. Le moment cinétique se conserve, l'énergie non.