Freinage d'urgence : pourquoi une roue freinée se bloque (antiblocage)

La stratégie. Les efforts sont connus (le couple de freinage et la loi d'adhérence) : on écrit deux équations du mouvement, une pour le véhicule, une pour la roue, puis on les combine en une seule équation sur $\lambda$. Ensuite, trois outils du programme : la recherche numérique des points de fonctionnement, la linéarisation, le schéma d'Euler.

1) Deux isolements, deux équations. Quart de véhicule (roue comprise), en translation à la vitesse $V{\overrightarrow{x}}_0$ : les seules actions extérieures horizontales sont celles de la route, l'étrier et la roue étant intérieurs à l'ensemble. Théorème de la résultante sur ${\overrightarrow{x}}_0$ : $$m\dot{V}=-\mu (\lambda )N.$$ Roue seule : on écrit le moment en son centre d'inertie $G_r$, où $\overrightarrow{\delta }(G_r)=J\dot{\omega }{\overrightarrow{y}}_0$ (roue de révolution, axe de direction fixe), et où passent les actions inconnues du moyeu (pivot parfait : aucun moment sur ${\overrightarrow{y}}_0$). Moment en $G_r$ de l'action de la route : $(-R{\overrightarrow{z}}_0)\wedge (-\mu N{\overrightarrow{x}}_0)=R\mu N{\overrightarrow{y}}_0$. D'où $$J\dot{\omega }=\mu (\lambda )NR-C_f.$$ L'adhérence entraîne la roue (elle tend à la faire tourner), le frein la ralentit : la roue se bloque quand le frein l'emporte.

2) L'équation en $\lambda$ et les points de fonctionnement. En dérivant $\lambda =1-R\omega /V$ : $\dot{\lambda }=-\frac{R\dot{\omega }}{V}+\frac{R\omega }{V}\frac{\dot{V}}{V}=-\frac{R\dot{\omega }}{V}+(1-\lambda )\frac{\dot{V}}{V}$. On y reporte les deux équations, ce qui donne l'expression annoncée. $\dot{\lambda }=0$ équivaut à $\frac{R{C}_f}{J}=\mu N\left(\frac{R^2}{J}+\frac{1-\lambda }{m}\right)$, soit, en multipliant par $J/R$, $C_f=\mu (\lambda )N\left(R+\frac{J(1-\lambda )}{mR}\right)$. Le second membre, $g(\lambda )$, vaut $0$ en $0$, croît jusqu'à un maximum voisin de ${\lambda }_{\text{opt}}$, puis décroît. On cherche les zéros de $g(\lambda )-C_f$ par dichotomie, séparément sur $[0;{\lambda }_{\text{opt}}]$ et sur $[{\lambda }_{\text{opt}};1]$ où la fonction change de signe ; avec $N=3924\mathrm{N}$ et $\frac{J}{mR}=9,68\times 10^{-3}\mathrm{m}$, soixante divisions par deux donnent, pour $C_f=1000\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : $${\lambda }_1=0,063,{\lambda }_2=0,415.$$ Le maximum de $g$ vaut $3924\times (0,31+0,0083)=1249\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : au-delà, il n'existe aucun point de fonctionnement, $\dot{\lambda }$ reste positif et la roue va jusqu'au blocage.

3) Linéarisation : la stabilité tient au signe de la pente. Le rapport des deux termes vaut $\frac{R^2/J}{1/m}=\frac{0,0801}{0,0025}=32$ : l'inertie de la roue réagit trente fois plus vite que la masse du véhicule. La décélération du véhicule, au plus $g$, change $V$ de $4\%$ en $0,1\mathrm{s}$ : sur la durée d'un transitoire de la roue, $V$ est quasi constant. Il reste $$\dot{\lambda }\simeq \frac{R}{JV}(C_f-\mu (\lambda )NR).$$ Autour de ${\lambda }_0$ (où $C_f=\mu ({\lambda }_0)NR$), on pose $\lambda ={\lambda }_0+\epsilon$ et l'on garde le premier ordre, $\mu (\lambda )\simeq \mu ({\lambda }_0)+{\mu }^{\prime }({\lambda }_0)\epsilon$ : $$\dot{\epsilon }=-\frac{N{R}^2{\mu }^{\prime }({\lambda }_0)}{JV}\epsilon .$$ C'est une équation du premier ordre : l'écart décroît exponentiellement si et seulement si ${\mu }^{\prime }({\lambda }_0)>0$, c'est-à-dire sur la partie montante de la courbe d'adhérence (${\lambda }_0<{\lambda }_{\text{opt}}$) ; sur la partie descendante, il croît. Le temps caractéristique vaut $\tau =\frac{JV}{N{R}^2|{\mu }^{\prime }({\lambda }_0)|}$. À ${\lambda }_0=0,05$, ${\mu }^{\prime }=9,52$ et $\tau =\frac{1,2\times 25}{3924\times 0,0961\times 9,52}=8,4\mathrm{ms}$ : retour très rapide. À ${\lambda }_0=0,3$, ${\mu }^{\prime }=-0,777$ et l'écart est multiplié par $\mathrm{e}$ en $102\mathrm{ms}$ : divergence en un dixième de seconde. Des deux points de la question 2, ${\lambda }_1=0,063$ est stable, ${\lambda }_2=0,415$ instable (flèches de la figure) : le moindre excès de glissement fait partir la roue vers le blocage. Physiquement : au-delà du maximum, plus la roue glisse, moins la route l'entraîne, et plus elle glisse.

4) La simulation. Schéma d'Euler explicite, à partir de $V_0=25\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\omega }_0=V_0/R$ : $${\lambda }_k=1-\frac{R{\omega }_k}{V_k},V_{k+1}=V_k-h\frac{\mu ({\lambda }_k)N}{m},{\omega }_{k+1}={\omega }_k+h\frac{\mu ({\lambda }_k)NR-C_f}{J}.$$

À $1100\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, inférieur au maximum, $\lambda$ rejoint en quelques centièmes de seconde le point de fonctionnement stable, $0,076$, et y reste. À $1300\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, supérieur au maximum de $1249$, aucun point n'arrête $\lambda$ : il franchit ${\lambda }_{\text{opt}}$ vers $0,1\mathrm{s}$, puis s'emballe, et la roue est bloquée ($\lambda =1$) au bout de $0,40\mathrm{s}$. Le pas de $0,1\mathrm{ms}$ est cinquante fois plus petit que le plus petit temps caractéristique du problème ($\tau =4,8\mathrm{ms}$, en $\lambda =0$, où la pente vaut $16,5$) : il suit fidèlement les transitoires. Un pas comparable à quelques millisecondes ne le ferait plus.

5) Le cahier des charges. Si $\lambda$ reste près de ${\lambda }_{\text{opt}}$, $\mu \simeq 1$, la décélération vaut $\mu g$ et la distance d'arrêt $$d=\frac{V_0^2}{2\mu g}=\frac{25^2}{2\times 9,81}=31,9\mathrm{m}<35\mathrm{m},$$ conforme. Roue bloquée, $\mu =0,655$ : $d=48,6\mathrm{m}$, $52\%$ de plus, non conforme ; et une roue qui glisse ne guide plus : on ne peut plus braquer. Puisqu'un écart de glissement diverge en un dixième de seconde, le dispositif d'antiblocage doit relâcher puis réappliquer la pression une dizaine de fois par seconde : c'est l'ordre de grandeur des cycles d'un antiblocage réel.

Ce que l'exercice installe. Quand les efforts sont connus, le principe donne des équations du mouvement ; on les combine en une variable qui dit l'essentiel (le taux de glissement), on cherche les points de fonctionnement (numériquement, par dichotomie), on linéarise autour d'eux et le signe de la pente dit leur stabilité ; le schéma d'Euler confirme la dynamique non linéaire. La conclusion est une exigence chiffrée et un ordre de grandeur de commande.