Chariot sur plan incliné tiré par un treuil

Puissances et Théorèmes Énergétiques · niveau 2

Énoncé

Un treuil (tambour de rayon $R$ , moment d'inertie $J_{t}$ avec le rotor du moteur, liaison pivot parfaite) enroule un câble inextensible, de masse négligée, parallèle à un plan incliné d'angle $α$ . Le câble tire vers le haut une charge de masse $M$ qui glisse sur le plan avec un coefficient de frottement $f$ . Le moteur applique un couple $C_{m}$ . Déterminer l'accélération de la charge en montée.

Corrigé

Hypothèses : le câble ne glisse pas sur le tambour, donc $V = R ω$ ; la charge reste en contact avec le plan, et l'équilibre perpendiculaire au plan donne $N = M g cos α$ ; en montée, le frottement de glissement vaut $f N$ , opposé à la vitesse. Inertie équivalente : $E_{c} = \frac{1}{2} J_{t} ω^{2} + \frac{1}{2} M V^{2}$ , $J_{e ˊ q} = J_{t} + M R^{2}$ . Puissances : moteur $C_{m} ω$ ; pesanteur $- M g sin α V$ ; frottement plan-charge $- f M g cos α V$ ; câble et pivot sans pertes. Couple équivalent : $C_{e ˊ q} = C_{m} - M g R (sin α + f cos α)$ . TEC : $J_{e ˊ q} ω ˙ = C_{e ˊ q}$ , d'où $a = R ω ˙ = \frac{R ( C _{m} - M g R ( s i n α + f c o s α ) )}{J _{t} + M R ^{2}}$ . La charge ne monte que si $C_{m} > M g R (sin α + f cos α)$ ; en descente, le frottement change de signe.