sciences industrielles (MP) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Démarrer une voiture : où passe la moitié de l'énergie de l'embrayage

Puissances et Théorèmes Énergétiques · B. Puissance d'une action mécanique · niveau 2

Énoncé

Au démarrage d'une voiture, le conducteur maintient le moteur thermique (vilebrequin et volant moteur, solide 1) à $N_{m} = 1500 tr/min$ , soit $ω_{m}$ constant, pendant que l'embrayage glisse. Le disque d'embrayage (solide 2), lié à l'arbre d'entrée de la boîte de vitesses, tourne à $ω_{c} (t)$ , nul au départ ; tant qu'il glisse sur le volant, le frottement de Coulomb (effort presseur constant) transmet un couple constant $C_{e} = 80 N m$ . La boîte et le pont ont un rapport global $i = ω_{c} / ω_{roue}$ : $i_{1} = 14$ en première, $i_{2} = 7, 7$ en deuxième ; leurs liaisons sont parfaites et leurs inerties négligées. Véhicule : masse totale $M = 1200 kg$ , quatre roues de rayon $R = 0, 30 m$ et de moment d'inertie $J_{r} = 0, 8 kg m^{2}$ chacune autour de leur axe, roulement sans glissement sur le sol ; à basse vitesse, la résistance au roulement et la traînée sont négligées. Une côte a une pente de $12 %$ ( $tan α = 0, 12$ ). Exigence (illustrative) : l'énergie dissipée dans l'embrayage ne doit pas dépasser $15 kJ$ par démarrage (échauffement du disque).

1) Exprimer la puissance des actions mutuelles entre le volant 1 et le disque 2 pendant le glissement, en la calculant dans $R_{0}$ , puis dans le repère lié au vilebrequin. Commenter son signe et l'égalité des deux résultats. Que vaut la puissance des actions du sol sur une roue ?

2) On isole $E = {$ disque, boîte, roues, caisse $}$ . Exprimer son inertie équivalente $J_{v}$ ramenée à l'arbre du disque, puis, par le théorème de l'énergie cinétique, la loi $ω_{c} (t)$ et la durée $t_{s}$ du glissement, sur le plat et en côte.

3) Exprimer l'énergie $W_{d}$ dissipée dans l'embrayage. Montrer que, sur le plat, elle est égale à l'énergie cinétique acquise par le véhicule, quel que soit $C_{e}$ . Valeurs en première.

4) En côte de $12 %$ , en première : couple résistant ramené $C_{r}$ , durée du glissement, énergie dissipée ; faire le bilan de l'énergie fournie par le moteur.

5) Mêmes calculs en deuxième, sur le plat et en côte. Conclure sur l'exigence.

6) Cas limites : que se passe-t-il si $C_{e} \leq C_{r}$ ? Et pour un véhicule électrique, sans embrayage ?

Corrigé

La stratégie. La puissance d'une action mutuelle se calcule avec la vitesse relative ; c'est elle qui dit si un contact dissipe. Puis le TEC sur l'ensemble entraîné, à couple constant, donne une accélération constante ; l'énergie dissipée est l'intégrale de la puissance de glissement.

1) La puissance du glissement. Le volant exerce sur le disque un couple $C_{e} x$ (axe de l'embrayage), le disque sur le volant $- C_{e} x$ : le frottement s'oppose au glissement, le volant, plus rapide, entraîne le disque. Dans $R_{0}$ : $P (1 \leftrightarrow 2) = P (1 \to 2/ R_{0}) + P (2 \to 1/ R_{0}) = C_{e} ω_{c} - C_{e} ω_{m} = - C_{e} (ω_{m} - ω_{c}) \leq 0.$ Dans le repère $R_{1}$ du vilebrequin, le volant est immobile : $P (2 \to 1/ R_{1}) = 0$ et $P (1 \to 2/ R_{1}) = C_{e} (ω_{c} - ω_{m})$ , même valeur : la puissance des actions mutuelles ne dépend que du mouvement relatif $Ω (2/1) = (ω_{c} - ω_{m}) x$ , négative tant qu'il y a glissement. Le sol sur une roue : en roulement sans glissement, $V (I \in roue / R_{0}) = 0$ et l'action du sol se réduit en $I$ à une force (pas de résistance au roulement) : $P = R \cdot V (I \in roue / R_{0}) = 0$ , bien que l'adhérence soit non nulle. Frottement ne veut pas dire dissipation : il faut du glissement.

2) Inertie équivalente et loi de mouvement. Avec $V = R ω_{roue} = R ω_{c} / i$ : $E_{c} (E / R_{0}) = \frac{1}{2} M V^{2} + 4 \times \frac{1}{2} J_{r} ω_{roue}^{2} = \frac{1}{2} \frac{M R ^{2} + 4 J _{r}}{i ^{2}} ω_{c}^{2}, J_{v} = \frac{M R ^{2} + 4 J _{r}}{i ^{2}} .$ En première, $J_{v} = \frac{108 + 3 , 2}{196} = 0, 567 kg m^{2}$ . Puissances : volant sur disque, $C_{e} ω_{c}$ ; pesanteur, $- M g sin α V = - C_{r} ω_{c}$ avec $C_{r} = \frac{M g R sin α}{i}$ ; sol sur roues, $0$ ; liaisons intérieures parfaites, $0$ . Le TEC donne $J_{v} ω_{c} ω ˙_{c} = (C_{e} - C_{r}) ω_{c}$ , d'où une accélération angulaire constante : $ω_{c} (t) = \frac{C _{e} - C _{r}}{J _{v}} t, t_{s} = \frac{J _{v} ω _{m}}{C _{e} - C _{r}} .$ À $t_{s}$ , $ω_{c} = ω_{m}$ : l'embrayage colle. Sur le plat en première, $t_{s} = \frac{0 , 567 \times 157 , 1}{80} = 1, 11 s$ , et le véhicule atteint $V = ω_{m} R / i = 3, 37 m s^{- 1}$ , soit $12, 1 km/h$ .

3) L'énergie dissipée. C'est l'opposé de l'intégrale de la puissance de glissement : $W_{d} = \int_{0}^{t_{s}} C_{e} (ω_{m} - ω_{c}) d t = C_{e} (ω_{m} t_{s} - \frac{1}{2} ω_{m} t_{s}) = \frac{1}{2} C_{e} ω_{m} t_{s} = \frac{1}{2} J_{v} ω_{m}^{2} \frac{C _{e}}{C _{e} - C _{r}},$ Sur le plat ( $C_{r} = 0$ ) : $W_{d} = \frac{1}{2} J_{v} ω_{m}^{2} = E_{c}$ , l'énergie cinétique acquise, et le moteur a fourni $C_{e} ω_{m} t_{s} = 2 E_{c}$ . La moitié part en chaleur, quel que soit $C_{e}$ : un embrayage « brutal » glisse moins longtemps sous un couple plus fort, le produit est le même. En première, $W_{d} = \frac{1}{2} \times 0, 567 \times 157, 1^{2} \approx 7, 0 kJ$ .

4) En côte. $sin α = 0, 12/ 1 + 0, 1 2^{2} = 0, 119$ , $C_{r} = \frac{1200 \times 9 , 81 \times 0 , 30 \times 0 , 119}{14} = 30, 1 N m$ , $t_{s} = \frac{0 , 567 \times 157 , 1}{80 - 30 , 1} = 1, 78 s$ , $W_{d} = \frac{1}{2} \times 80 \times 157, 1 \times 1, 78 \approx 11, 2 kJ$ . Bilan : le moteur fournit $C_{e} ω_{m} t_{s} = 22, 4 kJ$ , qui se partagent en $11, 2 kJ$ dissipés, $7, 0 kJ$ d'énergie cinétique et $4, 2 kJ$ d'énergie potentielle (le véhicule a parcouru $3, 0 m$ et monté de $0, 36 m$ ) : le bilan est fermé.

5) En deuxième. $J_{v} = \frac{111 , 2}{7 , 7 ^{2}} = 1, 88 kg m^{2}$ , 3,3 fois plus. Sur le plat, $W_{d} = E_{c} = 23, 1 kJ$ ; en côte, $C_{r} = 30, 1 \times \frac{14}{7 , 7} = 54, 6 N m$ , $t_{s} = \frac{1 , 88 \times 157 , 1}{80 - 54 , 6} = 11, 6 s$ et $W_{d} \approx 73 kJ$ .

Démarrage	$t_{s}$	$W_{d}$	Exigence $\leq 15 kJ$
première, plat	$1, 11 s$	$7, 0 kJ$	satisfaite
première, côte $12 %$	$1, 78 s$	$11, 2 kJ$	satisfaite
deuxième, plat	$3, 68 s$	$23, 1 kJ$	dépassée de $54 %$
deuxième, côte $12 %$	$11, 6 s$	$73 kJ$	dépassée d'un facteur $4, 9$

Conclusion : la première satisfait l'exigence partout ; la deuxième la dépasse, très largement en côte, où le facteur $\frac{C _{e}}{C _{e} - C _{r}}$ explose. C'est pourquoi on démarre en première.

6) Cas limites. Si $C_{e} \leq C_{r}$ , $ω ˙_{c} \leq 0$ : la voiture ne démarre pas et l'embrayage glisse indéfiniment, $W_{d}$ croît sans borne (l'embrayage « brûle »). Un véhicule électrique, sans embrayage, part de vitesse nulle sans glissement : le moteur fournit exactement $E_{c}$ (plus l'énergie potentielle), le facteur 2 disparaît.

Ce que l'exercice installe. La puissance des actions mutuelles se calcule avec la vitesse relative : elle est indépendante du repère, nulle sans glissement (même avec adhérence), négative avec glissement. Un démarrage par friction coûte, sur le plat, autant d'énergie dissipée que d'énergie cinétique acquise, quel que soit le couple de l'embrayage ; et l'inertie ramenée, en $1/ i^{2}$ , gouverne la durée du glissement : le choix du rapport est un choix énergétique.

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